Remarque déroutante sur la région de stabilité de la méthode Runge-Kutta du cinquième ordre

Je suis tombé sur une remarque déroutante dans le journal

PJ van der Houwen, Le développement des méthodes de Runge-Kutta pour les équations aux dérivées partielles, Appl. Num. Math. 20: 261, 1996

Aux lignes 8 et suivantes de la page 264, van der Houwen écrit:

"Pour les polynômes de Taylor, cela implique que l'intervalle de stabilité imaginaire est vide pour " $p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

où le polynôme de Taylor fait référence au polynôme de stabilité (expansion tronquée de autour de ) de la méthode Runge-Kutta et p est l'ordre (voir page 263). Je suppose que je comprends mal quelque chose parce que la méthode Runge-Kutta du cinquième ordre n'a pas d'intervalle de stabilité imaginaire vide pour autant que je sache. D'après ce dont je me souviens, la limite imaginaire est d'environ 3,4 ou plus. $\exp(x)$ $x=0$

Quel est mon malentendu?

numerical-analysis stability runge-kutta

— Brian Zatapatique
source

La déclaration de van der Houwen est correcte, mais ce n'est pas une déclaration sur toutes les méthodes Runge-Kutta du cinquième ordre. Les "polynômes de Taylor" auxquels il fait référence ne sont (comme vous semblez le savoir) que les polynômes de degré qui approchent pour ordonner : $p$ $\exp(z)$ $p$

P_{p} (z) = \sum_{j = 1}^{p} \frac{z^{j}}{j!}

$P_p(z) = \sum_{j=1}^p \frac{z^j}{j!}$

Pour le polynôme du cinquième ordre, il s'avère que pour petit , donc la région de stabilité d'une méthode ayant comme polynôme de stabilité ne comprend aucun voisinage de l'origine sur l'axe imaginaire . C'est, en termes précis, ce que dit van der Houwen. $|P_5(i\epsilon)|>1$ $\epsilon$ $P_5(z)$

$P_5(z)$

$P_5(z)$ $p$ $P_5(z)$

Enfin, il est facile de faire des erreurs lors de la détermination de l'étendue de l'intervalle de stabilité imaginaire pour les méthodes Runge-Kutta d'ordre élevé. En effet, la frontière de la région de stabilité pour de telles méthodes est extrêmement proche de l'axe imaginaire . Par conséquent, les erreurs d'arrondi peuvent conduire à des conclusions incorrectes; seuls des calculs exacts devraient être utilisés (bien sûr, la pertinence de la limite de la région de stabilité à des fins pratiques dans ces circonstances pourrait certainement être débattue).

Par exemple, voici un tracé de la région de stabilité de la méthode du cinquième ordre à partir de la paire Fehlberg 5 (4): Région de stabilité de Fehlberg

L'intervalle de stabilité imaginaire est vide, mais vous ne pouvez pas le dire à partir de l'image à cette résolution! Notez que la région comprend clairement une partie de l'axe imaginaire, mais aucun intervalle autour de l'origine.

En attendant, voici l'intrigue pour la méthode du cinquième ordre de la paire Dormand-Prince 5 (4):

Région de stabilité DP5

$[-1,1]$

$P_p(z)$

Vous pouvez également être intéressé par le package NodePy , qui a produit les tracés ci-dessus et qui peut être utilisé pour déterminer avec précision des choses comme l'intervalle de stabilité imaginaire d'une méthode (avertissement: j'ai créé NodePy).

— David Ketcheson
source

David, merci pour votre excellente réponse qui a éclairci deux ou trois choses. Je suis sur le point de voyager pendant quelques jours sans accès. Je ne voulais pas laisser votre réponse suspendue comme ça; J'y reviendrai.

— Brian Zatapatique