En quoi la programmation géométrique est-elle différente de la programmation convexe?

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En quoi la programmation géométrique (généralisée) est-elle différente de la programmation convexe générale?

Un programme géométrique peut être transformé en programme convexe et est généralement résolu par une méthode de point intérieur. Mais quel est l'avantage de formuler directement le problème sous forme de programme convexe et de le résoudre par une méthode de point intérieur?

La classe des programmes géométriques ne constitue-t-elle qu'un sous-ensemble de la classe des programmes convexes qui peuvent être résolus de manière particulièrement efficace par des méthodes de point intérieur? Ou est simplement l'avantage qu'un programme géométrique général peut facilement être spécifié sous une forme lisible par ordinateur.

D'un autre côté, y a-t-il des programmes convexes qui ne peuvent pas être approximés raisonnablement bien par des programmes géométriques?

optimization convex-optimization

— Thomas Klimpel
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En fait, je n'avais jamais entendu parler de programmation géométrique avant cette question. Voici un article de synthèse de Stephen Boyd, et al (Vandenberghe est également co-auteur) qui est un tutoriel sur la programmation géométrique.

$x^{1/2}$

L'avantage de transformer un programme géométrique en programme convexe est que le programme géométrique d'origine n'est pas nécessairement convexe. Si vous avez résolu le programme géométrique en tant que programme non linéaire (NLP), vous devrez utiliser des méthodes d'optimisation non convexe afin de garantir une solution optimale globale. Ces méthodes sont plus chères que les méthodes d'optimisation convexe, nécessitent plus de réglages algorithmiques et nécessitent des suppositions initiales.

$\mathbb{R}^{n}$ $x > 0$

Il n'est pas clair si l'ensemble des programmes géométriques mappe (via la transformation log-exponentielle) à un ensemble de programmes convexes qui résout particulièrement efficacement. Je ne vois aucun avantage à la programmation géométrique au-delà de la transformation en programmes convexes.

Quant à votre dernière question, je ne pense pas que l'ensemble des programmes géométriques soit isomorphe à l'ensemble des programmes convexes, donc je soupçonne qu'il existe des programmes convexes qui ne peuvent pas être exprimés comme des programmes géométriques, et de ces programmes, je soupçonne qu'il y a sont certains qui ne peuvent pas être approximés raisonnablement bien par des programmes géométriques. Cependant, je n'ai ni preuve ni contre-exemple.

— Geoff Oxberry
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Il semble que le chapitre 8 de votre article de synthèse lié tente de répondre à ma question. Cependant, après un premier survol, j'ai l'impression qu'en fait tout programme convexe peut être approximé par un programme géométrique (transformé logarithmiquement, bien sûr ...). Cependant, comme tout programme linéaire est "évidemment" également un programme géométrique, cela pourrait aussi être simplement une variante de l'affirmation selon laquelle tout programme convexe peut être approximé par un programme linéaire, mais ce ne serait pas ce que je veux dire par "approximativement raisonnablement". bien".

— Thomas Klimpel

Lorsque le terme de programmation géométrique est apparu, il n'a pas été facile de résoudre des programmes convexes généraux, et la structure spéciale a pu être exploitée. Maintenant, bien sûr, une fois que l'on reconnaît qu'un programme est géométrique, on le transforme en programme convexe et résout ce dernier par des méthodes ponctuelles intérieures.

— Arnold Neumaier

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$f(x) \leq 1$ $f(x)$ $-x-y \leq 1$ $-x-y$ $-x^2-y^2\leq 1$

— Opter
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La programmation géométrique n'est pas un sous-ensemble strict de la programmation convexe; cependant, sous la transformation log-exponentielle, les programmes géométriques transformés sont des programmes convexes.

— Geoff Oxberry

Ouais, c'est ce que je voulais dire. Réponse modifiée pour plus de clarté.

— Opt