Un minuscule déterminant implique-t-il un mauvais conditionnement d'une matrice?

Si j'ai une matrice inversible carrée et que je prends son déterminant, et que je trouve que , cela implique-t-il que la matrice est mal conditionnée? $\det(A) \approx 0$

L'inverse est-il également vrai? Une matrice mal conditionnée a-t-elle un déterminant presque nul?

Voici quelque chose que j'ai essayé dans Octave:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— Enquête
source

Le déterminant montre si une matrice est régulière ou singulière. Elle ne montre pas si elle est bien ou mal conditionnée.

— Allan P. Engsig-Karup

L'ampleur du déterminant ne peut pas refléter le mauvais conditionnement:

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$ mais

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$ .

— faleichik

Devrait-il y avoir un

\approx

$\approx$ ou

\neq

$\ne$ quelque part?

— Enquête

Si vous souhaitez en savoir plus sur les effets des mathématiques à virgule flottante sur les spectres matriciels, vous devriez consulter le livre de Nick Trefethen: Spectra and Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices and Operators and the Pseudospectra Gateway .

— Aron Ahmadia

Réponses:

C'est l'ampleur du nombre de conditions $\kappa(\mathbf A)$ qui mesure la proximité de la singularité, et non la minuscule du déterminant.

Par exemple, la matrice diagonale $10^{-50} \mathbf I$ a un déterminant minuscule, mais est bien conditionnée.

D'un autre côté, considérons la famille suivante de matrices triangulaires supérieures carrées, dues à Alexander Ostrowski (et également étudiées par Jim Wilkinson):

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

Le déterminant de la matrice est toujours , mais le rapport de la plus grande à la plus petite valeur singulière (c'est-à-dire le nombre de conditions à 2 normes ) a été montré par Ostrowski comme étant égal à , qui peut être vu augmenter pour augmenter . $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— JM
source

@Nunoxic: certainement pas; avant de me lancer dans les détails, connaissez-vous déjà la décomposition en valeurs singulières?

— JM

Très bien. C'est tout ce que vous devez savoir. L'idée est que des informations très importantes sur le conditionnement sont concentrées dans . En particulier, vous souhaiterez rechercher les valeurs les plus grandes et les plus petites (rappelez-vous que la décomposition est définie de telle sorte que les entrées diagonales de sont non négatives) dans la diagonale de cette matrice. Le rapport de l'entrée diagonale la plus grande à la plus petite est le numéro de condition . La taille du numéro de condition dont vous devez vous préoccuper dépend de la machine sur laquelle vous travaillez ...

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

— JM

... mais en général, lorsque vous résolvez des équations linéaires avec cette matrice, vous risquez de perdre base- chiffres dans votre solution. C'est une règle générale approximative pour le numéro de condition; donc si vous travaillez avec seulement 16 chiffres, une de devrait vous inquiéter.

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

— JM

Oui, mais ce n'est pas la méthode recommandée pour déterminer le numéro de condition (dont l'explication concerne une autre question). Je suppose que vous savez inverser une matrice diagonale, non?

— JM

"Regd. La perte de chiffres, pourriez-vous me donner une référence pour cela?" - Je pourrais, mais c'est vraiment une de ces choses que vous devriez expérimenter par vous-même dans un environnement informatique pour le renforcement.

— JM

Comme , le déterminant peut être rendu arbitrairement grand ou petit par une simple mise à l'échelle (qui ne change pas le numéro de condition). Surtout dans les dimensions élevées, même la mise à l'échelle d'un facteur innocent de 2 modifie énormément le déterminant. $\det(kA)=k^n\det A$

N'utilisez donc jamais le déterminant pour évaluer l'état ou la proximité de la singularité.

D'un autre côté, pour presque tous les problèmes numériques bien posés, la condition est étroitement liée à la distance à la singularité, dans le sens de la plus petite perturbation relative nécessaire pour rendre le problème mal posé. Cela vaut en particulier pour les systèmes linéaires.

— Arnold Neumaier
source