Quels sont les avantages relatifs de l'utilisation de l'algorithme Adams-Moulton par rapport à l'algorithme Adams-Bashforth?

Je suis en train de résoudre un système de deux PDE couplés dans deux dimensions spatiales et en temps de calcul. Étant donné que les évaluations de fonctions sont coûteuses, je voudrais utiliser une méthode en plusieurs étapes (initialisée à l'aide de Runge-Kutta 4-5).

La méthode Adams-Bashforth utilisant cinq évaluations de fonctions précédentes a une erreur globale de (c'est le cas où dans l'article Wikipedia référencé ci-dessous), et nécessite une évaluation de fonction (par PDE) par étape. $O(h^5)$ $s=5$

La méthode Adams-Moulton, d'autre part, nécessite deux évaluations de fonction par étape: une pour l'étape de prédiction et une autre pour l'étape de correction. Encore une fois, si cinq évaluations de fonction sont utilisées, l'erreur globale est . ( dans l'article Wikipedia) $O(h^5)$ $s=4$

Alors, quel est le raisonnement derrière l'utilisation d'Adams-Moulton sur Adams-Bashforth? Il a une erreur du même ordre, pour le double du nombre d'évaluations de fonctions. Intuitivement, il est logique qu'une méthode de prédiction-correction soit favorable, mais quelqu'un peut-il expliquer cela quantitativement?

Référence: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Adams.E2.80.93Bashforth_methods

— SimonSciComp
source

Cette question est fausse . Vous faites référence à Adams-Moulton, qui est une méthode entièrement implicite, mais vous discutez ensuite de l'utilisation réelle d'une méthode de prédiction-correction. Ils ne sont pas la même chose du tout .

— David Ketcheson

@David La méthode Adams-Moulton à laquelle je fais référence (parfois appelée Adams-Bashforth-Moulton) est une méthode de prédiction-correction. L'étape de prédiction se fait à l'aide d'Adams-Bashforth. Le résultat de la prédiction est ensuite utilisé dans l'étape Adams-Moulton, de manière à la rendre explicite. Je peux vous donner plus de détails si cela n'est pas clair.

— SimonSciComp

C'est clair. Mais ce n'est pas ce que l'on entend par Adams-Moulton. Vous devez utiliser les noms corrects.

— David Ketcheson

La méthode Adams-Moulton est nettement plus stable. L'analogie utilisée lorsque j'ai appris la différence est la même que l'extrapolation et l'interpolation. L'interpolation est relativement sûre numériquement. L'extrapolation peut exploser si vous avez une asymptote ou une autre caractéristique étrange.

Par exemple, résoudre l'ode

avec $y'(t) = -y(t)$ $y(0) = 1$

l'utilisation de la méthode Adams-Bashforth de troisième ordre devient en fait plus instable à mesure que le pas de temps est réduit. En ajoutant l'étape de correction, vous évitez une grande partie de cette instabilité. Un tracé des régions de stabilité pour les deux méthodes est montré ici:

entrez la description de l'image ici

$\lambda$ $h$ $\lambda$ $\lambda h$

— Godric Seer
source

λ

$\lambda$

h

$h$

@SimonSciComp J'ai ajouté quelques explications supplémentaires sous l'intrigue. Faites-moi savoir si quelque chose d'autre n'est pas clair.

— Godric Seer

λ h

$\lambda h$

ℜ (λ h) < 0

$\Re(\lambda h)<0$

λ

$\lambda$