Méthode des éléments finis vs méthode des éléments finis étendue (FEM vs XFEM)

Quelles sont les principales différences entre FEM et XFEM? Quand devrions-nous (ne pas) utiliser XFEM à la place de FEM et vice versa? En d'autres termes, lorsque je rencontre un nouveau problème, comment puis-je savoir lequel utiliser?

La méthode des éléments finis (FEM) est la méthode parente qui a inspiré beaucoup, beaucoup d'autres méthodes et méthodes qui sont en fait FEM mais prétendent ne pas l'être.

Dans la méthode des éléments finis, des "fonctions de forme" sont utilisées pour fournir un espace d'approximation afin que la solution puisse être représentée par un vecteur. Dans le FEM classique, ces fonctions de forme sont des polynômes.

Dans la méthode des éléments finis étendus (XFEM), des fonctions supplémentaires d'enrichissement sont utilisées pour approximer la solution en plus des fonctions de forme polynomiale. Ces fonctions d'enrichissement sont choisies pour avoir des propriétés que la solution est connue pour suivre.

Les fonctions d'enrichissement XFEM les plus évidentes sont les fonctions de puissance introduites aux coins vifs des fissures pour représenter les singularités du gradient de solution (c'est-à-dire la singularité de la contrainte pour les problèmes de mécanique des solides). Le XFEM peut être utilisé pour d'autres fonctions d'enrichissement et d'autres domaines de solution (notamment le transfert de chaleur), mais le nom est synonyme d'analyse de fracture.

La distinction entre les différentes méthodes - est-ce XFEM ou non?, Etc. - est délicate et subtile et sans importance.

En ce qui concerne l'utilisation, XFEM voit très peu d'utilisation pratique. Il existe une poignée d'applications dans les codes à éléments finis réels, notamment Abaqus, mais elles n'ont pas été largement acceptées.

Pour presque tous les problèmes pratiques, le FEM classique serait utilisé. Pour la plupart des problèmes d'analyse de fracture, le MEF classique peut toujours être utilisé avec un raffinement de maillage et / ou un raffinement p appropriés dans la zone du fond de fissure. D'autres modèles de fracture, moins rigoureux, peuvent également être utilisés.

Les deux Mike réponse et de Jed un décrivent bien la dichotomie XFEM / FEM et soulignent à juste titre que le plus important domaine d'application est mécanique de la rupture 3D, où vous avez une fissure, soit une discontinuité de déplacement sur une surface à l' intérieur de votre domaine.

Les fissures sont difficiles à modéliser en FEM classique pour deux raisons:

1. Le maillage doit être congruent à travers la fissure: plus précisément la fissure doit être à la limite d'un sous-domaine de FE. La fissure ne peut pas se trouver à l'intérieur (passer cependant) d'un élément fini.

2. Le champ de contrainte singulier au fond de la fissure nécessite des éléments spéciaux et / ou des techniques de maillage (éléments quart de point, maillage focalisé) à modéliser avec une bonne précision.

D'un point de vue technique en mécanique de la rupture, vous avez deux principaux types de problèmes:

1. Calcul du facteur d'intensité de contrainte ,

2. analyse de la propagation des fissures, p.ex. dans l'analyse de tolérance à la fatigue ou aux dommages.

Pour le premier type de problème, le FEM classique est plus que suffisant et constitue l' outil d'ingénierie standard. (C'est parce que, heureusement, il existe des méthodes énergétiques pour évaluer les facteurs d'intensité de contrainte qui ne sont pas sensibles aux erreurs numériques près du fond de fissure.)

L'analyse de la propagation des fissures est une histoire complètement différente: dans la plupart des cas, vous ne connaissez pas au préalable le chemin des fissures, et un remaillage fréquent est donc nécessaire. La principale promesse de XFEM est de permettre la propagation des fissures à l'intérieur d'un maillage FEM fixe , la fissure se frayant un chemin non seulement à la frontière entre les sous-domaines, mais à l' intérieur des FE eux-mêmes.

XFEM est une technique relativement nouvelle, encore loin d'être un outil d'ingénierie standard. Ma réponse à la question OP, au moins en mécanique des solides et en analyse d'ingénierie, est que XFEM a un champ d'application très étroit et spécialisé en analyse de propagation de fissures et de dommages, pour les géométries 3D complexes, lorsque le chemin de fissure ne peut pas être estimé a priori .

Néanmoins, permettez-moi de souligner que la mécanique de la rupture est un domaine très important en ingénierie: par exemple, les avions actuels sont sûrs également parce qu'il est possible de prédire numériquement les dommages et la propagation des fissures entre les intervalles de maintenance. XFEM, ou de nouvelles techniques similaires, doivent devenir des outils importants dans un avenir proche.

FEM est un sous-ensemble de XFEM. XFEM est une méthodologie pour enrichir les espaces d'éléments finis pour gérer les problèmes de discontinuités (comme la fracture). Avec le FEM classique, atteindre une précision similaire nécessite généralement un maillage conforme complexe et un raffinement adaptatif, alors que comme XFEM le fait avec un seul maillage, déplaçant cette complexité géométrique dans les éléments (XFEM est très compliqué à mettre en œuvre, en particulier en 3D). Parallèlement, XFEM aboutit à des matrices extrêmement mal conditionnées qui nécessitent soit des solveurs directs, soit des méthodes multigrilles très spécialisées (par exemple, Gerstenberger et Tuminaro (2012) ).