Galerkin discontinu: avantages et inconvénients Nodal vs Modal

Il existe deux approches générales pour représenter des solutions dans la méthode de Galerkin discontinue: nodale et modale.

1. Modal : les solutions sont représentées par des sommes de coefficients modaux multipliées par un ensemble de polynômes, par exemple où est généralement des polynômes orthogonaux , par exemple Legendre. Un avantage de ceci est que les polynômes orthogonaux génèrent une matrice de masse diagonale.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$\phi_i$

2. Nodal : les cellules sont composées de plusieurs nœuds sur lesquels la solution est définie. La reconstruction de la cellule est alors basée sur l'ajustement d'un polynôme interpolateur, par exemple où est un polynôme de Lagrange. Un avantage de ceci est que vous pouvez positionner vos nœuds en points de quadrature et évaluer rapidement les intégrales.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$$l_i$

Dans le contexte d'une application parallèle mixte structurée / non structurée 3D complexe et à grande échelle ( $10^6$ - $10^9$ DOF) avec des objectifs de flexibilité, de clarté de mise en œuvre et d'efficacité, quels sont les avantages et les inconvénients comparatifs de chaque méthode?

Je suis sûr qu'il y a déjà une bonne littérature, donc si quelqu'un pouvait me montrer quelque chose qui serait génial aussi.

Les compromis ci-dessous s'appliquent également à DG et aux éléments spectraux (ou éléments finis de version $p$ ).

Changer l'ordre d'un élément, comme dans -adaptivity, est plus simple pour les bases modales car les fonctions de base existantes ne changent pas. Ce n'est généralement pas pertinent pour les performances, mais certaines personnes l'aiment quand même. Les bases modales peuvent également être filtrées directement pour certaines techniques d'anticrénelage, mais ce n'est pas non plus un goulot d'étranglement des performances. Les bases modales peuvent également être choisies pour exposer la rareté au sein d'un élément pour des opérateurs spéciaux (généralement les laplaciens et les matrices de masse). Cela ne s'applique pas aux éléments à coefficient variable ou non affine, et les économies ne sont pas énormes pour l'ordre modeste généralement utilisé en 3D.$p$

Les bases nodales simplifient la définition de la continuité des éléments, simplifient la mise en œuvre des conditions aux limites, le contact, etc., sont plus faciles à tracer et conduisent à une meilleure$h$-ellipticité chez les opérateurs discrétisés (permettant ainsi l'utilisation de lisseurs / préconditionneurs moins chers). Il est également plus simple de définir des concepts utilisés par les solveurs, tels que les modes de corps rigides (utilisez simplement les coordonnées nodales), et de définir certains opérateurs de transfert de grille tels que ceux qui surviennent dans les méthodes multigrilles. Les discrétisations intégrées sont également facilement disponibles pour le préconditionnement, sans nécessiter de changement de base. Les discrétisations nodales peuvent utiliser efficacement la quadrature colocalisée (comme avec les méthodes des éléments spectraux), et la sous-intégration correspondante peut être bonne pour la conservation de l'énergie. Le couplage inter-éléments pour les équations du premier ordre est plus rare pour les bases nodales, bien que les bases autrement modales soient souvent modifiées pour obtenir la même rareté.

J'étais curieux de voir quelques réponses à cette question, mais d'une manière ou d'une autre personne ne se soucie de répondre ...

En ce qui concerne la littérature, j'aime vraiment le livre Spectral / hp Element Methods for Computational Fluid Dynamics (il y a aussi une version à couverture souple moins chère maintenant) et aussi le livre de Hesthaven et Warburton . Ces deux détails vont vous aider à implémenter les méthodes. Le livre de Canuto, Hussaini, Quarteroni et Zang est plus théorique. Celui-ci comporte également un deuxième volume "Méthodes spectrales: évolution vers des géométries complexes et applications à la dynamique des fluides".

Je ne travaille pas sur les méthodes DG et je ne suis pas un expert pour juger des avantages du nodal par rapport au modal. Le livre de Karniadakis & Sherwin est plus axé sur les méthodes à expansions modales continues . Dans ce type de méthode, vous êtes obligé de réorganiser les modes en deux éléments voisins de telle sorte que les modes correspondants sur l'interface correspondent afin de préserver la continuité de l'expansion globale. De plus, imposer des conditions aux limites nécessite une attention particulière, car vos modes ne sont pas associés à un emplacement spécifique sur la frontière.

J'espère que quelqu'un familier avec ce type de méthodes ajoutera plus de détails.