En contrôle PID, que représentent les pôles et les zéros?

Chaque fois que je lis un texte sur le contrôle (par exemple le contrôle PID), il mentionne souvent des «pôles» et des «zéros». Que veulent-ils dire par là? Quel état physique décrit un pôle ou un zéro?

La fonction qui décrit comment les entrées d'un système sont mappées à la sortie du système est appelée fonction de transfert.$T(\mathbf{x})$

Pour les systèmes linéaires, la fonction de transfert peut être écrite comme où et sont des polynômes, c'est-à-direN D T ( x ) = N ( x$N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$$N$$D$

Les zéros du système sont les valeurs de qui satisfont à la déclaration . En d'autres termes, ce sont les racines du polynôme . Comme . s'approche d'un zéro, le numérateur de la fonction de transfert (et donc la fonction de transfert elle-même) s'approche de la valeur 0.N ( x ) = 0 N ( x ) N ( x$x$$N(\mathbf{x}) = 0$$N(\mathbf{x})$$N(\mathbf{x})$

De même, les pôles du système sont les valeurs de qui satisfont à la déclaration . En d'autres termes, ce sont les racines du polynôme . Lorsque s'approche d'un pôle, le dénominateur de la fonction de transfert se rapproche de zéro et la valeur de la fonction de transfert se rapproche de l'infini.D ( x ) = 0 D ( x ) D ( x$x$$D(\mathbf{x}) = 0$$D(\mathbf{x})$$D(\mathbf{x})$

Les pôles et les zéros nous permettent de comprendre comment un système va réagir aux différentes entrées. Les zéros sont intéressants pour leur capacité à bloquer les fréquences tandis que les pôles nous fournissent des informations sur la stabilité du système. Généralement, nous traçons les pôles et les zéros dans le plan complexe et nous disons qu'un système est stable en entrée bornée en sortie (BIBO) si les pôles sont situés dans la moitié gauche du plan complexe (LHP - Left Half Plane).

Enfin, lorsque nous concevons un contrôleur, nous manipulons en fait ses pôles et ses zéros afin d'atteindre des paramètres de conception spécifiques.

Ces fonctions de transfert polynomial se produisent lorsque vous effectuez une transformation de Laplace sur une équation différentielle linéaire qui décrit réellement votre robot ou est le résultat de la linéarisation de la dynamique du robot à un état souhaité. Considérez-le comme une "expansion de Taylor" autour de cet état.

La transformée de Laplace est la généralisation de la transformée de Fourier à des fonctions qui ne sont pas périodiques. En génie électrique, la transformée de Laplace est interprétée comme la représentation du système dans le domaine fréquentiel , c'est-à-dire qu'elle décrit comment le système transmet toutes les fréquences du signal d'entrée. Les zéros décrivent ensuite les fréquences qui ne sont pas transmises. Et comme déjà mentionné par DaemonMaker, les pôles sont importants lorsque l'on considère la stabilité du système: la fonction de transfert du système va à l'infini près des pôles.

Ce qu'ils signifient dans un contexte de contrôle:

Pôles : Ils vous indiquent si un système (qui peut également être un nouveau système dans lequel vous avez inséré une boucle de rétroaction avec une loi de commande) est stable ou non. Habituellement, vous voulez qu'un système soit stable. Donc, vous voulez que tous les pôles du système soient dans le demi-plan gauche (c'est-à-dire que les parties réelles des pôles doivent être inférieures à zéro). Les pôles sont les valeurs propres de la matrice de votre système . Leur distance sur le demi-plan gauche vous indique à quelle vitesse le système converge vers son état de repos. Plus ils sont éloignés de l'axe imaginaire, plus le système converge rapidement.

Zéros : ils peuvent être pratiques si vous avez un pôle sur le demi-plan droit ou toujours sur le demi-plan gauche, mais trop près de l'axe imaginaire: par une modification intelligente de votre système, vous pouvez déplacer les zéros sur vos pôles indésirables pour les anéantir eux .

Je ne peux pas vraiment parler des zéros de la fonction de transfert, mais les pôles de la fonction de transfert ont définitivement une interprétation significative.

Pour comprendre cette interprétation, vous devez vous rappeler que le système que nous voulons contrôler est vraiment l'une des deux choses: soit une équation différentielle , soit une équation différentielle . Dans les deux cas, l'approche courante pour résoudre ces équations consiste à déterminer leurs valeurs propres. Plus important encore, lorsque le système est linéaire, les valeurs propres de l'équation différentielle / différence correspondent exactement aux pôles de la fonction de transfert. Donc, en obtenant les pôles, vous obtenez vraiment les valeurs propres de l'équation d'origine. Ce sont les valeurs propres de l'équation originale (à mon avis) qui déterminent vraiment la stabilité du système; c'est juste une étonnante coïncidence que les pôles d'un système linéaire sont exactement les valeurs propres de l'équation d'origine.

Pour illustrer cela, considérons les deux cas séparément:

Cas 1: équation différentielle

Lorsque toutes les valeurs propres d'une équation différentielle ont une partie réelle négative, alors toutes les trajectoires (c'est-à-dire toutes les solutions) approchent de la solution d'équilibre à l'origine (x = 0). En effet, les solutions d'une équation différentielle ont généralement la forme d'une fonction exponentielle comme , où est la valeur propre. Ainsi, la fonction comme uniquement si . Sinon, si , la quantité exploserait très probablement à l'infini ou ne convergerait tout simplement pas vers zéro. λ x ( t ) → 0 t → ∞ R e ( λ ) < 0 R e ( λ ) ≥ 0 e λ $x(t)=Ce^{\lambda t}$$\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$$t\rightarrow \infty$$Re(\lambda)<0$$Re(\lambda)\ge 0$$e^{\lambda t}$

Cas 2: équation de différence

Lorsque toutes les valeurs propres d'une équation de différence sont inférieures à 1 en magnitude, toutes les trajectoires (c'est-à-dire toutes les solutions) approchent de la solution d'équilibre à l'origine (x = 0). En effet, les solutions d'une équation aux différences ont généralement la forme d'une séquence exponentielle comme , où est la valeur propre. Ainsi, la séquence comme uniquement si . Sinon, si , la quantité exploserait à l'infini ou ne convergerait tout simplement pas vers zéro. λ x t → 0 t → ∞ | λ | < 1 | λ | ≥ 1 λ $x_t=C\lambda^t$$\lambda$ $x_t\rightarrow 0$$t\rightarrow\infty$$|\lambda|<1$$|\lambda|\ge 1$$\lambda^t$

Dans les deux cas, les pôles de la fonction système et les valeurs propres de l'équation différentielle / différence (homogène) sont exactement la même chose! À mon avis, il est plus logique pour moi d'interpréter les pôles comme des valeurs propres parce que les valeurs propres expliquent la condition de stabilité d'une manière plus naturelle.