matrice de covariance en EKF?

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Je me bats avec le concept de matrice de covariance. Maintenant, ma compréhension de , , et qu'ils décrivent l'incertitude. Par exemple, pour , il décrit l'incertitude de la valeur de x. Maintenant, ma question sur le reste des sigmas, que représentent-ils? Qu'est-ce que cela signifie si ce sont des zéros? Je peux interpréter que si est nul, cela signifie que je n'ai pas d'incertitude sur la valeur de x.

Σ = [\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x θ} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y θ} \\ σ_{θ x} & σ_{θ y} & σ_{θ θ} \end{matrix}]

$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{x \theta} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{y \theta} \\ \sigma_{\theta x} & \sigma_{\theta y} & \sigma_{\theta \theta} \\ \end{bmatrix}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

σ_{y y}

$\sigma_{yy}$

σ_{θ θ}

$\sigma_{\theta \theta}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

Remarque, je lis les principes du mouvement du robot - Théorie, algorithmes et implémentations par Howie Choset et. al., qui déclare que

Par cette définition, est identique à la variance de . Pour , si , alors et sont indépendants l'un de l'autre. $\sigma_{ii}$ $\sigma_{i}^{2}$ $X_{i}$ $i ≠ j$ $\sigma_{ij} = 0$ $X_{i}$ $X_{j}$

Cela peut répondre à ma question si le reste des sigmas sont des zéros cependant, je suis toujours confus quant à la relation entre ces variables, par exemple et . Quand cela se produit-il? Je veux dire la corrélation entre eux. Ou en d'autres termes, puis-je supposer qu'il s'agit de zéros? $x$ $y$

Un autre livre à savoir FastSLAM: A Scalable Method ... de Michael et Sebastian qui déclare

Les éléments hors diagonale de la matrice de covariance de cette gaussienne multivariée codent les corrélations entre les paires de variables d'état.

Ils ne mentionnent pas quand la corrélation pourrait se produire et qu'est-ce que cela signifie?

kalman-filter noise

— CroCo
source

5

Voici un cas de jouet où les éléments hors diagonale sont différents de zéro.

Considérons un vecteur d'état qui inclut la position des roues gauche et droite au lieu d'une seule position pour le robot. Maintenant, si la roue gauche a une position de 100 m, vous savez que la roue droite aura également une position d'environ 100 m (en fonction de la longueur de l'essieu). À mesure que la roue gauche augmente la position, la roue droite en fait de même. Ce n'est pas une corrélation exacte de 1: 1, par exemple, il ne tient pas exactement lorsque le robot tourne, mais dans l'ensemble, il tient.

Donc, ici, l'entrée hors diagonale entre la position x de la roue gauche et la position x de la roue droite serait proche de 1.

— ryan0270
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Ok, si mon modèle est représenté comme un point qui se déplace dans un environnement plan (ei 2D), les éléments hors diagonale sont donc des zéros car il n'y a pas de telles corrélations entre les éléments diagonaux. Cette hypothèse est-elle correcte? Et qu'en est-il si ce point détecte un point de repère qui a deux coordonnées (ei ), puis-je également supposer les zéros de corrélation?

x, y

$x, y$

— CroCo

À votre première question, oui, vous pouvez laisser les éléments hors diagonale à zéro. Pour le second, cela dépend de la façon dont vous le gérez. Si vous utilisez simplement le point de repère pour estimer votre position actuelle, il n'y a pas de corrélation. Si vous ajoutez les positions de repère au vecteur d'état (comme cela est courant dans SLAM), elles commenceront à développer des corrélations entre elles.

— ryan0270

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Pour avoir une idée de la matrice de covariance - sans entrer dans les détails mathématiques ici - il est préférable de commencer avec une matrice 2x2. Souvenez-vous ensuite que la matrice de covariance est une extension du concept de variance dans le cas multivarié. Dans le cas 1D, la variance est une statistique pour une seule variable aléatoire. Si votre variable aléatoire a une distribution gaussienne avec une moyenne nulle, sa variance peut définir précisément la fonction de densité de probabilité.

Maintenant, si vous étendez cela à deux variables au lieu d'une, vous pouvez différencier deux cas. Si vos deux variables sont indépendantes, ce qui signifie que le résultat d'une valeur n'a aucun rapport avec l'autre valeur, c'est fondamentalement la même que dans le cas 1D. Votre et votre donnent la variance des parties et de votre variable aléatoire, et sera nulle. $\sigma_{xx}$ $\sigma_{yy}$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

Si vos variables sont dépendantes, c'est différent. Dépendant signifie qu'il existe une relation entre le résultat de et . Par exemple, vous pourriez avoir cela chaque fois que est positif, est en général plus susceptible d'être également positif. Ceci est donné par votre valeur de covariance . $x$ $y$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

Donner un exemple pour un robot dans un cas 2D sans orientation est un peu artificiel, mais disons que vous avez une composante aléatoire le long de la direction de déplacement sur l' axe des et vous savez que cette composante génère également une dérive sur votre axe latéral ( ). Cela pourrait par exemple être une roue défectueuse. Cela se traduira par une ellipse d'incertitude tournée. Maintenant, par exemple, lorsque vous avez plus tard quelque chose qui mesure votre position réelle , vous pouvez estimer la distribution d'incertitude sur votre composante . $x$ $y$ $x$ $y$

$\theta$

$1 \sigma$

Cela est également vrai dans le cas 3D. J'adorerais devenir plus mathématique ici, mais peut-être un peu plus tard.

— Jakob
source

Σ

$\Sigma$

x

$x$

y

$y$

1

@CroCo Je pense que l'exemple que vous demandez est décrit dans le quatrième paragraphe de la réponse.

— Demetris