Tous les codes quantiques


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Le théorème 2 de [1] énonce:

Supposons que C est un sous-code auto-orthogonal additif de GF(4)n , contenant 2nk vecteurs, de sorte qu'il n'y a pas de vecteurs de poids <d en C/C . Alors tout espace propre de ϕ1(C) est un code correcteur d'erreur quantique additif avec des paramètres [[n,k,d]] .

où ici ϕ:Z22nGF(4)n est la carte entre la représentation binaire des opérateurs de Pauli à n plis et leur mot de code associé, et C est auto-orthogonal si où est le double de .CCCC

Cela nous indique que chaque code classique auto-orthogonal additif représente un code quantique .GF(4)n[[n,k,d]]

Ma question est de savoir si l'inverse est également vrai, c'est-à-dire: chaque code quantique est-il représenté par un code auto-orthogonal classique classique?[[n,k,d]]GF(4)n

Ou de manière équivalente: existe-t-il des codes quantiques qui ne sont pas représentés par un code auto-orthogonal classique additif ?[[n,k,d]]GF(4)n

[1]: Calderbank, A. Robert, et al. "Correction d'erreur quantique via des codes sur GF (4)." Transactions IEEE sur la théorie de l'information 44.4 (1998): 1369-1387.


Les codes stabilisateurs tels que les codes toriques ou les codes couleurs ne sont-ils pas auto-orthogonaux? il y a un isomorphisme entre les deux !!
Tessaracter

Désolé, je ne comprends pas votre point. Je cherche un code quantique qui n'est pas auto-orthogonal, pas des exemples de ceux qui le sont.
SLesslyTall

Quelle est la question exactement? Pour autant que j'ai compris dans la question, vous essayez de trouver des codes quantiques qui représentent le code classique?
Josu Etxezarreta Martinez

Non, j'essaie de savoir si tous les codes quantiques (sur qubits) ont des codes classiques équivalents. Pour plus de clarté, j'ai mis en évidence la question exacte et ajouté une autre reformulation.
SLesslyTall

Réponses:


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La contrainte auto-orthogonale additive sur les codes classiques afin de créer des codes quantiques de stabilisateur est nécessaire du fait que les générateurs de stabilisateurs doivent commuter entre eux afin de créer un espace de code valide. Lors de la création de codes quantiques à partir de codes classiques, la relation de commutation pour les stabilisateurs équivaut à avoir un code classique auto-orthogonal.

Cependant, les codes quantiques peuvent être construits à partir de codes classiques non auto-orthogonaux sur GF(4)n au moyen d'une aide à l'intrication. Dans ces constructions, un code classique arbitraire est sélectionné, et en ajoutant quelques paires de Bell dans le système qubit, la commutation entre les stabilisateurs est obtenue.

Ce paradigme assisté par enchevêtrement pour la construction de QECC à partir de n'importe quel code classique est présenté dans arXiv: 1610.04013 , qui est basé sur l'article "Corriger les erreurs quantiques avec enchevêtrement" publié dans Science par Brun, Devetak et Hsieh.


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Votre question peut en partie être considérée comme un problème de notation.

La notation [[n,k,d]]D est souvent (mais pas toujours) réservée aux codes est de type stabilisateur. Comme le montre l'article de Calderbank et al., Les codes stabilisateurs de qubit sont équivalents aux codes classiques auto-orthogonaux GF (4) ^ n additifs. Cette construction se généralise, voir Réfs. Ketkar et al. et Ashikhmin et Knill . Ici, la dimension du code est Dk pour les quDits.

((n,K,d))DKKD

((5,6,2))[[5,2,2]]22=4<6

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