Quelle est la relation entre la porte Toffoli et la boîte Popescu-Rohrlich?

Contexte

La porte Toffoli est une porte logique classique à 3 entrées et 3 sorties. Il envoie à . Il est significatif en ce qu'il est universel pour le calcul réversible (classique).$(x, y, a)$$(x, y, a \oplus (x \cdot y))$

La boîte Popescu-Rohrlich est l'exemple le plus simple d'une corrélation sans signalisation. Il faut une paire d'entrées et de sorties satisfaisant telle sorte que et soient tous deux des variables aléatoires uniformes. Il est universel pour une certaine classe ( mais pas pour toutes ) de corrélations sans signalisation.$(x, y)$$(a, b)$$x \cdot y = a \oplus b$$a$$b$

À mes yeux, ces deux objets semblent extrêmement similaires, surtout si nous augmentons la zone PR en la faisant sortir . Ce boîtier PR à 2 entrées et 4 sorties "est" la porte Toffoli à 3 entrées et 3 sorties mais avec la troisième entrée remplacée par une sortie aléatoire. Mais je n'ai pas pu trouver de références qui les relient.$(x, y, a, b) = (x, y, a, a \oplus (x \cdot y))$

Question

Quelle est la relation entre la porte Toffoli et la boîte Popescu-Rohrlich? Existe-t-il quelque chose comme une correspondance entre des circuits classiques réversibles et (une certaine classe de?) Corrélations non-signalaires qui se mappent les unes aux autres?

Observations

1. La spécification d'une corrélation sans signalisation nécessite non seulement une fonction mais également une affectation de chaque entrée et sortie à une partie qui la contrôle. Un boîtier PR n'est plus sans signalisation si nous permettons à Alice d'entrer les deux entrées et à Bob de lire les deux sorties. Ou dans notre PR-box "augmentée", si Alice entre , elle doit aussi être celle qui lit la copie de . Il semble donc non trivial de déterminer, pour un circuit général (avec certaines entrées éventuellement remplacées par des sorties aléatoires), toutes les façons dont les entrées et les sorties peuvent être attribuées à des parties de telle sorte que la communication n'est pas possible.$x$$x$

2. Nous pouvons appliquer la procédure ci-dessus à n'importe quelle porte logique, y compris irréversible. Par exemple, nous pouvons prendre AND et remplacer l'une des entrées par une sortie aléatoire, et obtenir une fonction une entrée et une paire où est une variable aléatoire uniforme. Cependant, est conditionné à , donc la seule façon pour que cela ne soit pas de signalisation est si Alice, qui entre , reçoit . Mais cette procédure peut déjà être reproduite de façon classique avec une source de hasard partagée. Je m'attends donc à ce que l'inclusion de portes irréversibles n'élargisse pas la classe des corrélations non-signalaires que l'on peut construire.$x$$(a, x \cdot a)$$a$$x \cdot a$$0$$x = 0$$x$$x \cdot a$

Une manière naturelle de relier les portes Toffoli et les boîtes PR est de les voir comme des représentations de la fonction ET de deux entrées binaires, mais de manières différentes. Le lien avec la fonction ET est évident et clairement reconnu par la question, mais je l'exprimerais d'une manière légèrement différente:

1. La porte de Toffoli est bien sûr la manière naturelle de représenter ET comme une fonction réversible. Il suit le modèle habituel de représentation d'une fonction arbitraire manière réversible comme .$f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$$|x,a\rangle \mapsto |x,a\oplus f(x)\rangle$

2. La boîte PR peut être considérée comme une forme distribuée de la fonction ET. La sortie d'une boîte PR sur l'entrée peut être exprimée comme , ou de manière équivalente comme , où est un bit aléatoire généré uniformément. La sortie du boîtier PR est donc soit une paire de bits aléatoires parfaitement corrélée, soit parfaitement anti-corrélée, selon que le ET des entrées est respectivement 0 ou 1. Ceci est intéressant car Alice et Bob connaissent collectivement la sortie de la fonction ET (qu'ils peuvent obtenir en calculant le XOR de leurs bits de sortie), alors qu'individuellement ils n'ont aucune information sur cette valeur.$(x,y)$$(\text{AND}(x,y)\oplus a, a)$$(a,\text{AND}(x,y)\oplus a)$$a\in\{0,1\}$

L'idée que la boîte PR calcule efficacement la fonction ET de cette manière distribuée est une idée clé dans la preuve de Wim van Dam que la complexité de la communication devient triviale en présence de boîtes PR:

Barrage de Wim van. Conséquences invraisemblables de la non-localité ultra-forte. Natural Computing 12 (1): 9-12, 2013.