Est-il possible de «calculer» la valeur absolue d'un permanent en utilisant l'échantillonnage des bosons?

Dans l' échantillonnage des bosons , si nous commençons avec 1 photon dans chacun des premiers modes d'un interféromètre, la probabilité de détecter 1 photon dans chaque mode de sortie est: , où les colonnes et les rangées de sont les premières colonnes de la matrice unitaire de l'interféromètre , et toutes ses rangées. $M$ $|\textrm{Perm}(A)|^2$ $A$ $M$ $U$

Cela donne l'impression que pour tout unitaire $U$ , nous pouvons construire l'interféromètre approprié, construire la matrice $A$ et calculer la valeur absolue du permanent de $A$ en prenant la racine carrée de la probabilité de détecter un photon dans chaque mode (que nous obtenir de l'expérience d'échantillonnage des bosons). Est-ce vrai ou y a-t-il un problème? Les gens m'ont dit que vous ne pouvez pas réellement obtenir d'informations sur un permanent à partir d'échantillonnage de bosons.

Aussi, qu'advient-il des autres colonnes de : Comment se fait-il exactement que le résultat expérimental ne dépend que des premières colonnes de et de toutes ses lignes, mais pas du tout des autres colonnes de ? Ces colonnes de n'affectent-elles pas du tout le résultat de l'expérience dans les premiers modes ? $U$ $M$ $U$ $U$ $U$ $M$

— user1271772
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Depuis que vous avez créé la photonique , pensez à en écrire l'extrait de balise. Allez ici . Je vous remercie.

— Sanchayan Dutta

Réponses:

Cela semble vrai, jusqu'à un certain point. Comme je l' ai lu Scott Aaronson document , il est dit que si vous commencez avec 1 photon dans chacun des premiers modes d'un interféromètre, et de trouver la probabilité qu'un ensemble est sortie dans chaque mode photons où , est $M$ $P_S$ $s_i$ $i\in\{1,\ldots, N\}$ $\sum_is_i=M$ Donc, en effet, si vous prenez une instance particulière oùou 1 pour chaque sortie possible, alors, oui, la probabilité est égale au permanent de, oùest lespremièrescolonnes deet un sous-ensemble spécifique delignes spécifiées par les emplacements. Donc, ce n'est pas tout à fait comme spécifié dans la question: ce ne sont pas toutes les lignes, mais seulement certains sous-ensembles, de sorte que

P_{s} = \frac{| Per(A) |^{2}}{s_{1}! s_{2}! \dots s_{M}!} .

$P_s=\frac{|\text{Per(A)}|^2}{s_1!s_2!\ldots s_M!}.$

s_{i} = 0

$s_i=0$

A

$A$

A

$A$

M

$M$

U

$U$

M

$M$

s_{i} = 1

$s_i=1$

A

$A$ est une matrice carrée, correspondant aux bits que l'expérience "voit", c'est-à-dire les lignes d'entrée et les lignes de sortie. Les photons jamais rien d' autre Populate, et ainsi sont aveugles aux autres éléments de la matrice unitaire

U

$U$

Cela devrait être assez évident. Disons que j'ai une matrice . Si je commence dans un état de base et trouver son produit, , puis sachant que me dit très peu sur les sorties et , en dehors de ce qu'on peut dire de la connaissance que est unitaire, et donc les colonnes et les lignes sont orthonormé. $3\times 3$ $V$ $|0\rangle$ $V|0\rangle$ $V|1\rangle$ $V|2\rangle$ $V$

Le problème auquel il faut faire attention est la précision: vous exécutez cela une fois et tout ce que vous obtenez est un échantillon unique en fonction de la distribution de probabilité . Vous l'exécutez plusieurs fois et vous commencez à générer des informations sur les différentes probabilités. Vous exécutez cela suffisamment de fois et vous pouvez obtenir une réponse arbitrairement précise, mais combien suffit-il? Il existe deux façons différentes de mesurer l'erreur dans une estimation d'une valeur . Vous pouvez demander soit une erreur additive soit une erreur multiplicative, . Puisque nous nous attendons à ce qu'une probabilité typique soit exponentiellement petite en $P_s$ $p$ $p\pm\epsilon$ $p(1\pm\epsilon)$ $n+m$ , l'erreur multiplicative exige une précision beaucoup plus grande, qui ne peut pas être obtenue efficacement via l'échantillonnage. D'un autre côté, l'approximation d'erreur additive peut être obtenue.

Alors qu'une erreur multiplicative est ce que les gens veulent habituellement calculer, l'erreur additive peut également être une entité intéressante. Par exemple, dans l'évaluation du polynôme de Jones .

Aaronson nous fait remonter plus loin dans le temps pour savoir où ce lien entre l'échantillonnage du boson et le permanent a été établi pour la première fois:

On sait depuis les travaux de Caianiello en 1953 (sinon plus tôt) que les amplitudes des processus à bosons peuvent être écrites comme les permanents de matrices. $n$ $n\times n$

Au lieu de cela, leur principale contribution

est de prouver un lien entre la capacité des ordinateurs classiques à résoudre le problème de l'échantillonnage de Boson approximatif et leur capacité à approximer le problème permanent

c'est-à-dire pour comprendre le problème d'approximation associé, par exemple, à l'échantillonnage fini, et pour décrire les conséquences de la complexité de calcul associées: que nous pensons qu'une telle chose est difficile à évaluer classiquement.

— DaftWullie
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Je ne sais pas si c'est ce que vous dites, mais il n'est pas vrai que la résolution efficace de BosonSampling permet d'estimer efficacement les permanents, ce qui impliquerait que les ordinateurs quantiques sont capables de résoudre les problèmes # P-difficiles. En d'autres termes, les ordinateurs quantiques peuvent simuler efficacement la sortie d'un échantillonneur de bosons, mais pas calculer efficacement sa distribution de probabilité de sortie

— glS

@glS Non, c'est bien ce que je dis. Le document d'Aaronson est très prudent pour distinguer ce problème, mais cela rend l'énoncé de complexité informatique beaucoup plus compliqué, c'est pourquoi je ne l'ai pas énoncé.

— DaftWullie

@DaftWullie désolé, maintenant je suis confus. Sommes-nous d'accord pour dire que l'échantillonnage des bosons ne permet pas d'estimer efficacement les permanents? (voir par exemple en bas de la colonne de gauche à la page 6 de arxiv.org/pdf/1406.6767.pdf )

— glS

@gls Je conviens que vous ne pouvez pas le faire si vous voulez une estimation du permanent avec une limite d'erreur multiplicative, ce qui, certes, est la manière standard de définir les choses (mais depuis j'ai soigneusement évité de définir quoi que ce soit ...). Si vous êtes prêt à tolérer une erreur additive liée, je pense que vous pouvez le faire.

— DaftWullie

« Si je commence dans un état de base

et trouve son produit,

, puis savoir qui me dit très peu sur les sorties

», mais chaque élément de

est impliqué en vous donnant

. Mais pour l'échantillonnage des bosons, seules les premières colonnes

sont impliquées, n'est-ce pas étonnant?

| 0 ⟩

$|0\rangle$

V | 0 ⟩

$V|0\rangle$

V | 1 ⟩

$V|1\rangle$

V | 2 ⟩

$V|2\rangle$

V

$V$

V | 0 ⟩

$V|0\rangle$

M

$M$

— user1271772

Vous ne pouvez pas récupérer efficacement les valeurs absolues des amplitudes, mais si vous autorisez de nombreux échantillons arbitraires, vous pouvez les estimer avec le degré de précision que vous souhaitez.

Plus précisément, si l'état d'entrée est un photon unique dans chacun des premiers modes, et que l'on est prêt à tirer un nombre arbitraire d'échantillons de la sortie, alors il est en principe possible d'estimer le permanent de à n'importe quel degré de précision que l'on aime, en comptant la fraction des fois où les photons d'entrée sortent dans les premiers ports de sortie différents. Il est à noter cependant que cela n'a pas vraiment grand-chose à voir avec BosonSampling, car le résultat de la dureté tient dans le régime du nombre de modes beaucoup plus grand que le nombre de photons, et il s'agit de l'efficacité de l'échantillonnage. $n$ $A$ $n$ $n$

Échantillonnage du boson

Je vais essayer une très brève introduction à ce qu'est l'échantillonnage des bosons, mais il convient de noter que je ne peux pas faire mieux que Aaronson lui-même, donc c'est probablement une bonne idée de jeter un œil aux articles de blog associés de son (par exemple, blog /? p = 473 et blog /? p = 1177 ), et les liens qui s'y trouvent.

BosonSampling est un problème d' échantillonnage . Cela peut être un peu déroutant dans la mesure où les gens sont généralement plus habitués à penser à des problèmes ayant des réponses définitives. Un problème d'échantillonnage est différent en ce que la solution au problème est un ensemble d'échantillons tirés d'une certaine distribution de probabilité.

En effet, le problème qu'un échantillonneur de bosons résout est celui de l' échantillonnage à partir d'une distribution de probabilité spécifique. Plus précisément, l' échantillonnage à partir de la distribution de probabilité des états de résultats possibles (plusieurs bosons).

Considérons comme exemple simple un cas avec 2 photons dans 4 modes, et disons que nous fixons l'état d'entrée à (qui est, un seul photon dans chacune des deux premières deux modes d'entrée). En ignorant les états de sortie avec plus d'un photon dans chaque mode, il y a $(1,1,0,0)\equiv|1,1,0,0\rangle$ états de sortie à deux photons possibles: et $\binom{4}{2}=6$ $(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1)$ . Désignons par soucicommodité avec le -ième (donc, par exemple, ). Ensuite, une solution possible à BosonSampling pourrait être la série de résultats: $(0,0,1,1)$ $o_i, i=1,.,6$ $i$ $o_2=(1,0,1,0)$

o_{1}, o_{4}, o_{2}, o_{2}, o_{5} .

$o_1, o_4, o_2, o_2, o_5.$

Pour faire une analogie avec un cas peut-être plus familier, c'est comme dire que nous voulons échantillonner à partir d'une distribution de probabilité gaussienne. Cela signifie que nous voulons trouver une séquence de nombres qui, si nous en tirons suffisamment et les mettons dans un histogramme, produira quelque chose de proche d'un gaussien.

Permanents informatiques

Il s'avère que l'amplitude de probabilité d'un état d'entrée donné à un état de sortie donné est (proportionnelle à) l' permanent d'une matrice appropriée construit sur la matrice unitaire caractérisant le (mono-boson) l' évolution. $|\boldsymbol r\rangle$ $|\boldsymbol s\rangle$

Plus précisément, si désigne la liste d'attribution de mode $\boldsymbol R$ ${}^{(1)}$ $|\boldsymbol r\rangle$ $\boldsymbol S$ $|\boldsymbol s\rangle$ $U$ $\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s)$ $|\boldsymbol r\rangle$ $|\boldsymbol s\rangle$

A (r \to s) = \frac{1}{\sqrt{r! s!}} perm U [R | S],

$\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s) = \frac{1}{\sqrt{\boldsymbol r!\boldsymbol s!}} \operatorname{perm} U[\boldsymbol R|\boldsymbol S],$ with

U [R | S]

$U[\boldsymbol R|\boldsymbol S]$ denoting the matrix built by taking from

U

$U$ the rows specified by

R

$\boldsymbol R$ and the columns specified by

S

$\boldsymbol S$ .

Thus, considering the fixed input state $|\boldsymbol r_0\rangle$ , the probability distribution of the possible outcomes is given by the probabilities

p_{s} = \frac{1}{r_{0}! s!} | perm U [R | S] |^{2} .

$p_{\boldsymbol s} = \frac{1}{\boldsymbol r_0! \boldsymbol s!} \lvert \operatorname{perm}U[\boldsymbol R|\boldsymbol S] \rvert^2.$

BosonSampling is the problem of drawing "points" according to this distribution.

This is not the same as computing the probabilities $p_s$ , or even computing the permanents themselves. Indeed, computing the permanents of complex matrices is hard, and it is not expected even for quantum computers to be able to do it efficiently.

The gist of the matter is that sampling from a probability distribution is in general easier than computing the distribution itself. While a naive way to sample from a distribution is to compute the probabilities (if not already known) and use those to draw the points, there might be smarter ways to do it. A boson sampler is something that is able to draw points according to a specific probability distribution, even though the probabilities making up the distribution itself are not known (or better said, not efficiently computable).

Furthermore, while it may look like the ability to efficiently sample from a distribution should translate into the ability of efficiently estimating the underlying probabilities, this is not the case as soon as there are exponentially many possible outcomes. This is indeed the case of boson sampling with uniformly random unitaries (that is, the original setting of BosonSampling), in which there are $\binom{m}{n}$ possible $n$ -boson in $m$ -modes output states (again, neglecting states with more than one boson in some mode). For $m\gg n$ , this number increases exponentially with $n$ . This means that, in practice, you would need to draw an exponential number of samples to even have a decent chance of seeing a single outcome more than once, let alone estimate with any decent accuracy the probabilities themselves (it is important to note that this is not the core reason for the hardness though, as the exponential number of possible outcomes could be overcome with smarter methods).

In some particular cases, it is possible to efficiently estimate the permanent of matrices using a boson sampling set-up. This will only be feasible if one of the submatrices has a large (i.e. not exponentially small) permanent associated with it, so that the input-output pair associated with it will happen frequently enough for an estimate to be feasible in polynomial time. This is a very atypical situation, and will not arise if you draw unitaries at random. For a trivial example, consider matrices that are very close to identity - the event in which all photons come out in the same modes they came in will correspond to a permanent which can be estimated experimentally. Besides only being feasible for some particular matrices, a careful analysis of the statistical error incurred in evaluating permanents in this way shows that this is not more efficient than known classical algorithms for approximating permanents (technically, within a small additive error) ${}^{(2)}$ .

Columns involved

Let $U$ be the unitary describing the one-boson evolution. Then, basically by definition, the output amplitudes describing the evolution of a single photon entering in the $k$ -th mode are in the $k$ -th column of $U$ .

The unitary describing the evolution of the many-boson states, however, is not actually $U$ , but a bigger unitary, often denoted by $\varphi_n(U)$ , whose elements are computed from permanents of matrices built out of $U$ .

Informally speaking though, if the input state has photons in, say, the first $n$ modes, then naturally only the first $n$ columns of $U$ must be necessary (and sufficient) to describe the evolution, as the other columns will describe the evolution of photons entering in modes that we are not actually using.

(1) This is just another way to describe a many-boson state. Instead of characterizing the state as the list of occupation numbers for each mode (that is, number of bosons in first mode, number in second, etc.), we characterize the states by naming the mode occupied by each boson. So, for example, the state $(1, 0, 1, 0)$ can be equivalently written as $(1, 3)$ , and these are two equivalent ways to say that there is one boson in the first and one boson in the third mode.

(2): S. Aaronson and T. Hance. "Generalizing and Derandomizing Gurvits's Approximation Algorithm for the Permanent". https://eccc.weizmann.ac.il/report/2012/170/

— glS
source

I started with 1 photon in each input mode, and said we're looking at the probability of having 1 photon in each output mode, so that we could avoid all these more complicated general equations involving the permanent, which you provide. In fact if

M

$M$ is the number of columns in

U

$U$ , we get that the probability of having 1 photon in each output mode is

| Perm (U) |^{2}

$|\textrm{Perm}(U)|^2$ from which we can easily get

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ . If we let the experiment go on for long enough and get enough samples, can we not obtain an estimate for

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ ?

— user1271772

In no part of the question did I mention "efficiency" or "sub-exponentially". I'm just interested to know whether or not it's possible to estimate

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ using boson sampling.

— user1271772

@user1271772 I see. That's the standard way of talking about these things in this context so I might have automatically assumed you meant to talk about efficiency. If you don't care about the number of samples you have to draw then sure, you can compute the output probability distribution, and therefore the absolute values of the permanents, to whatever accuracy you like

— glS

@gIS, Aram Harrow once told me you cannot calculate Permanents using boson sampling, so I thought there was some "catch". The best classical algorithm for simulation of exact boson sampling is:

O (m 2^{n} + m n^{2})

$\mathcal{O}\left(m2^n + mn^2\right)$ , for

n

$n$ photons in

m

$m$ output modes, what is the cost using the interferometer?

— user1271772

@user1271772 I answered more specifically your first point in the edit. I guess I got confused because the setting you are mentioning does not seem to have really much to do with boson sampling, but is more generally about the dynamics of indistinguishable bosons through an interferometer

— glS