De nombreux articles affirment que la simulation hamiltonienne est complète en BQP (par exemple, la simulation hamiltonienne avec une dépendance presque optimale de tous les paramètres et la simulation hamiltonienne par qubitisation ).

Il est facile de voir que la simulation hamiltonienne est difficile pour BQP car tout algorithme quantique peut être réduit à la simulation hamiltonienne, mais comment est la simulation hamiltonienne dans BQP?

c'est-à-dire, quel est précisément le problème de décision de simulation hamiltonienne dans BQP et dans quelles conditions sur hamiltonien?

Il existe de nombreuses variantes différentes, en particulier en ce qui concerne les conditions sur l'hamiltonien. C'est un peu un jeu, par exemple, d'essayer de trouver la classe d'hamiltoniens la plus simple possible pour laquelle la simulation est encore complète en BQP.

La déclaration sera à peu près dans le sens de: let être un (normalisée) état du produit, H soit un hamiltonien de quelque classe particulière (par exemple , constitué seulement d'accouplements plus proches voisins sur un réseau à une dimension), O observable comprenant un produit tensoriel d'opérateurs d' un corps de telle sorte que ‖ O ‖ ≤ 1 , et t être un temps. Compte tenu de la promesse que ⟨ ψ | e i H t O e - i H t | ψ $|\psi\rangle$$H$$\hat O$$\|\hat O\|\leq 1$$t$$\langle\psi|e^{iHt}\hat O e^{-iHt}|\psi\rangle$est soit supérieur à ou moins de$\frac12+a$pour certainsa(par exemplea=$\frac12-a$$a$ ), décidez quel est le cas.$a=\frac16$

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Plus de détails

La simulation hamiltonienne est difficile pour BQP

La construction de base (à l'origine due à Feynman, ici un peu modifiée) montre essentiellement comment vous pouvez concevoir un hamiltonien qui implémente tout calcul quantique, y compris tout calcul BQP complet. L'observable que vous mesureriez est simplement sur un qubit de sortie particulier, les deux résultats de mesure correspondant à «oui» et «non».$Z$

Le type d'hamiltonien le plus simple auquel vous pourriez penser est de considérer un calcul de unités unitaires séquentielles U n agissant sur M qubits, à partir d'un état | 0 ⟩ ⊗ M . Ensuite , vous pouvez introduire un supplément de N qubits, et préciser le hamiltonien H = $N-1$$U_n$$M$$|0\rangle^{\otimes M}$$N$ Si vous préparez votre état initial comme| 1⟩| 0⟩ ⊗ ( N - 1 ) | 0⟩ ⊗ M puis après un temps

$$H=\frac{2}{N}\sum_{n=1}^{N-1}\sqrt{n(N-n)}\left(|10\rangle\langle 01|_{n,n+1}\otimes U+|01\rangle\langle 10|_{n,n+1}\otimes U^\dagger\right).$$ $|1\rangle|0\rangle^{\otimes(N-1)}|0\rangle^{\otimes M}$ , il sera dans un état$N\pi/4$$|0\rangle^{\otimes (N-1)}|1\rangle|\Phi\rangle$$|\Phi\rangle$$\sqrt{n(N-n)}$

Pour voir comment cela fonctionne, vous définissez un ensemble d'états

$$|\psi_n\rangle=|0\rangle^{\otimes(n-1)}|1\rangle|0\rangle^{\otimes{N-n}}\otimes\left(U_{n-1}U_{n-2}\ldots U_1|0\rangle^{\otimes M}\right).$$ The action of the Hamiltonian is then $$H|\psi_n\rangle=\frac2N\sqrt{(n-1)(N+1-n)}|\psi_{n-1}\rangle+\frac2N\sqrt{n(N-n)}|\psi_{n+1}\rangle,$$ which proves that the evolution is restricted to an $N\times N$ subspace which is represented by a tridiagonal matrix (which is the specific thing studied in perfect state transfer).

Of course, this Hamiltonian doesn't have any particularly nice properties - it is highly non-local, for example. There are many tricks that can be played to simplify the Hamiltonian to being, for example, one-dimensional. It can even be translationally invariant if you want, at the cost of having to prepare a more complex initial product state (at that point, the computation is no longer encoded in the Hamiltonian, which is universal, but is encoded in the input state). See here, for example.

Hamiltonian Simulation

The evolution of any Hamiltonian which is local on some lattice, acting on an initial product state, for a time that is no more than polynomial in the system size, can be simulated by a quantum computer, and any efficiently implementable measurement can be applied to estimate an observable. In this sense, you can see that Hamiltonian simulation is no harder than a quantum computation, the counter-point to the previous statement that quantum computation is no harder than Hamiltonian simulation.

There are many ways to do this (and there have been some recent papers that show significant improvements in error scaling for certain classes of Hamiltonian). Hre's quite a simple one. Take the Hamiltonian $H$ that you want to simulate. Split it up into different parts, $H_i$, each of which commutes. For example, on a nearest-neighbour Hamiltonian on some graph, you don't need more pieces than the maximum degree of the graph. You then Trotterize the evolution, writing the approximation

$$e^{iHt}\approx \left(e^{-iH_1\delta t}e^{-iH_2\delta t}\ldots e^{-iH_n\delta t}\right)^{t/\delta t}$$ So, you just have to construct a circuit that implements terms like $e^{-iH_1\delta t}$, which is composed of commuting terms $H_1=\sum_nh_n$, each of which acts only on a small number of qubits. $$e^{-iH_1\delta t}=\prod_{n}e^{-ih_n\delta t}$$ Since this is just a unitary on a small number of terms, a universal quantum computer can implement it.