Est-il permis d'agir avec une carte positive sur un état ne faisant pas partie d'un système plus vaste?

Dans les commentaires d'une question que j'ai posée récemment, il y a une discussion entre user1271772 et moi sur les opérateurs positifs.

Je sais que pour un opérateur positif préservant les traces (par exemple, la transposition partielle) si il agit sur un état mixte bien que soit une matrice de densité valide, il détruit la matrice de densité du système qu'il est empêtré - ce n'est donc pas un opérateur valide. $\Lambda$ $\rho$ $\Lambda(\rho)$

Cela et les commentaires de user1271772, cependant, m'ont fait réfléchir. agissant sur un état qui ne fait pas partie d'un plus grand système donne en effet une matrice de densité valide et il n'y a pas de système enchevêtré associé pour le détruire. $\Lambda$

Ma question est donc la suivante: une telle opération est-elle autorisée (c'est-à-dire l'action d'une carte positive sur un état qui ne fait pas partie d'un système plus large). Sinon, pourquoi pas? Et si oui, est-il vrai que toute carte positive peut être étendue à une carte complètement positive (peut-être de manière non triviale)?

— Spaghettification quantique
source

En ce qui concerne la dernière phrase de la question, il peut être utile de noter que toute carte linéaire des matrices carrées aux matrices carrées, qu'elle soit positive ou complètement positive, est uniquement déterminée par son action sur les matrices de densité à l'état pur (simplement parce que le les matrices de densité à l'état pur couvrent l'espace de toutes les matrices). Il n'y a donc aucun moyen "d'étendre" une telle carte pour la rendre complètement positive sans changer son action sur les états purs.

Λ

$\Lambda$

— John Watrous

Pourquoi la transposition partielle agissant sur un état pur donnerait-elle une matrice de densité valide? Ou voulez-vous simplement dire "agir sur un État qui ne fait pas partie d'un système plus vaste"? (La première ne semble pas avoir de sens - toute carte sera "plus positive" sur les états mixtes que sur les états purs. La seconde est simplement appelée "carte positive".)

— Norbert Schuch,

@NorbertSchuch, je veux dire "agir sur un état qui ne fait pas partie d'un système plus large" - n'est-ce pas la même chose qu'un état pur?

— Spaghettification quantique

@Quantumspaghettification No. (Eh bien, c'est un peu une question de croyance, mais la façon dont elle est formulée est très trompeuse en ce qui concerne la langue habituelle. J'ai dû la lire plusieurs fois pour deviner ce que vous voulez dire. Je suggérerais de reformuler en conséquence.

— Norbert Schuch

@Quantumspaghettification: Un état pur. Sinon (ie, le rang de est ): état mixte. Sur l'un d'eux, la transposition donne un positif . Ce n'est que si nous appliquons à un état plus grand (qu'il soit pur ou mixte), nous obtenons un état non postif.

ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$

ρ

$\rho$

> 1

$>1$

Λ (ρ)

$\Lambda(\rho)$

Λ \otimes I

$\Lambda\otimes I$

— Norbert Schuch

Réponses:

Toute carte qui n'est pas complètement positive, la préservation des traces (CPTP), n'est pas possible en tant qu '"opération autorisée" (un compte rendu plus ou moins complet de la façon dont certains systèmes se transforment) en mécanique quantique, quels que soient les états auxquels elle est destinée agir sur.

La contrainte des cartes étant CPTP vient de la physique elle-même. Les transformations physiques sur les systèmes fermés sont unitaires, en raison de l'équation de Schrödinger. Si nous autorisons la possibilité d'introduire des systèmes auxiliaires, ou d'ignorer / perdre des systèmes auxiliaires, nous obtenons une carte CPTP plus générale, exprimée en termes de dilatation Stinespring. Au-delà de cela, nous devons considérer les cartes qui ne peuvent se produire qu'avec une probabilité de défaillance significative (comme avec la post-sélection). C'est peut-être une façon de décrire une "extension" pour les cartes non CPTP aux cartes CPTP - en la concevant pour qu'elle puisse être décrite comme une chose provocante avec une certaine probabilité, et quelque chose d'inintéressant avec une probabilité peut-être plus grande;

À un niveau supérieur - bien que nous puissions considérer l'intrication comme un phénomène étrange, et d'une certaine manière particulière à la mécanique quantique, les lois de la mécanique quantique elles-mêmes ne font aucune distinction entre les états intriqués et les états de produit. Il n'y a aucun sens dans lequel la mécanique quantique est délicate ou sensible à la simple présence de corrélations non locales (qui sont des corrélations dans des choses que noussont concernés), ce qui rendrait impossible une certaine transformation sur des états intriqués simplement parce qu'elle pourrait produire un résultat embarrassant. Soit un processus est impossible - et en particulier impossible sur les États de produits - soit il est possible, et toute gêne quant au résultat pour les États enchevêtrés est la nôtre, en raison de la difficulté à comprendre ce qui s'est passé. La particularité de l'intrication réside dans la manière dont elle remet en question nos idées préconçues à motivation classique, et non dans la manière dont les États intriqués évoluent eux-mêmes dans le temps.

— Niel de Beaudrap
source

Quelle loi de physique exige que les sous-systèmes de l'univers évoluent de cette façon? Si nous supposons seulement que l'univers évolue selon l'équation de Schroedinger, pouvons-nous prouver que tous les sous-systèmes doivent évoluer de manière CPTP? Je n'ai jamais vu une telle preuve, et d'autres sont d'accord: sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 . J'ai posé la question ici: quantumcomputing.stackexchange.com/questions/2073/… .

— user1271772

Après plus de lecture, j'ai trouvé un contre-exemple à votre affirmation selon laquelle la dynamique doit être CPTP. Lorsque la matrice de densité initiale est donnée par l'équation. 6 de sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 , et l'hamiltonien est donné dans ce même paragraphe, conduit à une matrice de densité "totale" où la matrice de densité de sous-système n'est même pas positif. L'idée clé est que le système et son bain sont enchevêtrés même au temps . Je crois que vous ne devez assumer aucun enchevêtrement entre le système et le bain à afin de forcer le CPTP à la manière de Choi ou d'Alicki.

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

t = 0

$t=0$

t = 0

$t=0$

— user1271772

@ user1261772: si vous n'êtes pas autorisé à supposer aucun enchevêtrement entre le système et le bain, à quel égard est-il même significatif de considérer une carte sur le système seul? L'enchevêtrement préexistant fait un non-sens de l'idée que nous essayons même de fournir un "compte plus ou moins complet" de la façon dont le système évolue. Et --- enfin --- si l'opérateur du sous-système n'est même pas positif, comment diable pouvons-nous interpréter la possibilité d'obtenir des probabilités négatives (ou des probabilités supranormalisées) de certains des états propres?

— Niel de Beaudrap

"C'est peut-être une façon de décrire une" extension "pour les cartes non CPTP aux cartes CPTP - en la concevant pour qu'elle puisse être décrite comme une chose provocatrice avec une certaine probabilité, et quelque chose d'inintéressant avec une probabilité probablement plus grande" - avez-vous un exemple pour ça? Il me semble que cela produirait avec une certaine probabilité une sortie qui n'est pas positive, ce qui ne peut pas l'être.

— Norbert Schuch

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

La situation des cartes non complètement positives (ou plus généralement des cartes non linéaires) est controversée en partie en raison de la définition précise de la façon dont vous devez construire la carte . Mais il est facile de trouver un exemple de quelque chose qui semble être NCP ou même non linéaire.

Carte non linéaire.

$\rho$ $\rho$ $\rho$ $\rho\otimes\rho$

N'imaginez pas que vous avez également la boîte noire suivante - elle a (pour autant que vous puissiez en juger) une entrée et deux sorties. En réalité (à votre insu), il a deux entrées et deux sorties et il crache simplement à la fois le qubit système et le qubit environnement. Pour autant que vous puissiez en juger, cette boîte noire est une machine à cloner, violant la linéarité.

$\rho\otimes\rho^T$

$\rho$

— Aharon Brodutch
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-3

Aucune loi de la physique ne stipule que nous devons être capables de faire évoluer un sous-système de l'univers par lui-même.

Il n'y aurait aucun moyen de tester définitivement une telle loi.

$\rm{Tr}(\rho_{\rm{universe}})\lt1$ $\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}<0$

$\rho_{\rm{universe}}(0)\rightarrow\rho_{\rm{universe}}(t)$

Pour plus de commodité, nous aimons modéliser des sous-régions de l'univers et introduire une positivité complète pour cela. Mais un jour, une expérience pourrait se produire que nous trouverions impossible à expliquer ² , peut-être parce que nous avons choisi de modéliser l'univers d'une manière qui n'est pas compatible avec la façon dont l'univers fonctionne réellement.

$\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}$ les sous-systèmes évoluent de cette façon, pas seulement l'univers dans son ensemble.

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

2 : C'est en fait déjà le cas, mais supposons que la gravité n'existe pas et que la mécanique quantique (QED + QFD + QCD) est correcte, et nous trouvons toujours impossible d'expliquer quelque chose, malgré le fait d'avoir (en quelque sorte) une puissance informatique magique pour calculer tout ce que nous voulons instantanément.

— user1271772
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T r ρ_{u n i v e r s e}

$Tr \rho_{universe}$

@AHusain: La question portait sur les cartes préservant les traces, ce qui implique la trace. La question s'adressait à moi. Permettez-moi de décider comment je voudrais répondre à la question.

— user1271772

Je voulais juste souligner que les espaces de Hilbert de dimension finie et infinie ont quelques différences substantielles. États sur différentes sortes d'algèbres de VonNeumann. C'est tout.

— AHusain

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

Si vous allez voter contre une réponse qui a pris une matinée entière (peut-être 3 à 4 heures?) Pour écrire et formater, ne serait-il pas juste d'expliquer ce que vous n'avez pas aimé à ce sujet?

— user1271772