Y a-t-il des résultats d'algorithmes quantiques ou de complexité qui conduisent à des avancées sur le problème P vs NP?

En surface, les algorithmes quantiques ont peu à voir avec l'informatique classique et P vs NP en particulier: la résolution des problèmes de NP avec les ordinateurs quantiques ne nous dit rien sur les relations de ces classes de complexité classiques ¹ .

D'autre part, la «description alternative» de la classe de complexité classique PP comme la classe PostBQP présentée dans cet article est, à ma connaissance, considérée comme un résultat important pour la «complexité classique», par la «complexité quantique» .

En fait, Scott Aaronson, l'auteur de l'article, écrit à la fin du résumé:

Cela illustre que l'informatique quantique peut fournir de nouvelles preuves plus simples de résultats majeurs sur le calcul classique.

Par conséquent, ma question est: y a-t-il des résultats du domaine de la complexité quantique qui «simplifient» le problème P vs NP, similaires à la description quantique de PP? S'il n'y a pas de tels résultats, y a-t-il une bonne raison de ne pas s'attendre à ces résultats, malgré le «succès» du PP?

_{1: Prenez la réponse à cette question, par exemple: le problème P vs NP deviendrait-il trivial à la suite du développement des ordinateurs quantiques universels?}

Je ne pense pas qu'il y ait de raisons claires pour une réponse «oui» ou «non». Cependant, je peux fournir une raison pour laquelle PP était beaucoup plus susceptible d'admettre une telle caractérisation que NP , et de donner quelques intuitions pour expliquer pourquoi NP pourrait ne jamais avoir une caractérisation simple en termes de modification du modèle de calcul quantique.

Compter la complexité

Les classes NP et PP peuvent toutes deux être caractérisées en termes de nombre de branches acceptantes d'une machine de Turing non déterministe, que nous pouvons décrire de manière plus terre-à-terre en termes de résultats possibles d'un calcul randomisé qui utilise bits uniformément aléatoires. On peut alors décrire ces deux classes comme:

• L  ∈  NP s'il existe un algorithme randomisé en temps polynomial qui produit un seul bit α  ∈ {0,1}, tel que x  ∈  L si et seulement si Pr [  α  = 1 | x  ] est non nul (bien que cette probabilité puisse être minuscule), par opposition à zéro.

• L  ∈  PP s'il existe un algorithme randomisé en temps polynomial qui produit un seul bit α  ∈ {0,1}, tel que x  ∈  L si et seulement si Pr [  α  = 1 | x  ] est supérieur à 0,5 (mais peut-être seulement de la plus petite quantité), au lieu d'être égal ou inférieur à 0,5 (  par exemple d'une petite quantité).

Une façon de voir pourquoi ces classes ne peuvent pas être pratiquement résolues à l'aide de cette description probabiliste, est qu'il peut falloir exponentiellement de nombreuses répétitions pour être sûr d'une estimation de probabilité pour Pr [  α  = 1 | x  ] en raison de la minceur des différences dans les probabilités impliquées.

Complexité des lacunes et complexité quantique

Décrivons les résultats «0» et «1» dans le calcul ci-dessus comme «rejeter» et «accepter»; et appelons une branche aléatoire qui donne un résultat de rejet / acceptation, une branche de rejet ou d' acceptation . Parce que chaque branche du calcul aléatoire qui n'accepte pas est donc rejetée, PP peut également être défini en termes de différence entre le nombre de chemins de calcul acceptant et rejetant - une quantité que nous pouvons appeler l' écart d'acceptation : spécifiquement, si l'acceptation l'écart est positif, ou inférieur ou égal à zéro. Avec un peu plus de travail, nous pouvons obtenir une caractérisation équivalente pour PP, selon que l'écart d'acceptation est supérieur à un certain seuil, ou inférieur à un certain seuil, qui peut être nul ou toute autre fonction efficacement calculable de l'entrée x .

Ceci à son tour peut être utilisé pour caractériser les langues en PP en termes de calcul quantique. D'après la description de PP en termes de calculs randomisés ayant des probabilités d'acceptation (éventuellement légèrement) supérieures à 0,5, ou tout au plus 0,5, tous les problèmes de PP admettent un algorithme quantique à temps polynomial qui a la même distinction dans les probabilités d'acceptation; et en modélisant les calculs quantiques comme une somme sur des chemins de calcul, et en simulant ces chemins en utilisant des branches de rejet pour des chemins de poids négatif et en acceptant des branches de chemins de poids positif, nous pouvons également montrer qu'un tel algorithme quantique faisant une distinction (statistiquement faible) décrit un problème en PP .

Il n'est pas évident que nous puissions faire la même chose pour NP . Il n'y a aucun moyen naturel de décrire NP en termes de lacunes d'acceptation, et la supposition évidente de la façon dont vous pourriez essayer de l'intégrer dans le modèle de calcul quantique - en vous demandant si la probabilité de mesurer un résultat «1» est nulle ou non zéro - à la place, vous donne une classe appelée coC ₌ P , qui n'est pas connue pour être égale à NP , et pourrait être décrite comme étant à peu près aussi puissante que PP plutôt que proche de NP en puissance.

Bien sûr, un jour, on pourrait trouver en quelque sorte une caractérisation de NP en termes de lacunes d'acceptation, ou on pourrait trouver de nouvelles façons de relier le calcul quantique à la complexité de comptage, mais je ne suis pas sûr que quiconque ait des idées convaincantes sur la façon dont cela pourrait se produire.

Sommaire

Les perspectives d'obtenir un aperçu du problème P par rapport à NP lui-même, via le calcul quantique, ne sont pas prometteuses - bien que cela ne soit pas impossible.