Objectif de l'utilisation de Fidelity dans l'analyse comparative randomisée

Souvent, lorsque l'on compare deux matrices de densité, et (comme lorsque est une implémentation expérimentale d'un idéal ), la proximité de ces deux états est donnée par la fidélité d'état quantique avec l'infidélité définie comme .$\rho$$\sigma$$\rho$$\sigma$

$$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$$ $1-F$

De même, lorsque l'on compare la proximité d'une implémentation d'une porte avec une version idéale, la fidélité devient où est la mesure de Haar sur les états purs. Sans surprise, cela peut devenir relativement désagréable à travailler avec.

$$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$$ $d\psi$

Définissons maintenant une matrice dans le cas des matrices de densité, ou lorsque vous travaillez avec des portes. Ensuite, les normes Schatten ¹ , telles que , \ | M \ | _2 ^ 2 = tr \ left (M ^ \ dagger M \ right) , ou d'autres normes, telles que la norme diamant peuvent être calculées.$M = \rho - \sigma$$M = U - \tilde U$$\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$$\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$

Ces normes sont souvent plus faciles à calculer ² que la fidélité ci-dessus. Ce qui aggrave les choses, c'est que dans les calculs d' étalonnage randomisés , l' infidélité ne semble même pas être une grande mesure , mais c'est le nombre qui est utilisé chaque fois que j'ai vu en regardant les valeurs d'étalonnage pour les processeurs quantiques. ³

Alors, pourquoi la (in) fidélité est-elle la valeur de référence pour le calcul des erreurs de porte dans les processeurs quantiques (à l'aide de l'analyse comparative aléatoire), alors qu'elle ne semble pas avoir une signification utile et que d'autres méthodes, telles que les normes Schatten, sont plus faciles à calculer sur un ordinateur classique?

---

^{1 La p-norme Schatten de $M$ est $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2 ie brancher un modèle de bruit sur un ordinateur (classique) et simuler}

^{3 Comme le QMX5 d'IBM}

Nielsen et Chuang dans leur livre "Calcul Quantique et Information Quantique" ont une section (Chapitre 9) sur les mesures de distance pour l'information quantique.

Étonnamment, ils disent dans la section 9.3 "Dans quelle mesure un canal quantique préserve-t-il les informations?" qu'en comparant la fidélité à la norme de trace:

En utilisant les propriétés de la distance de trace établies dans la dernière section, il n'est pas difficile, pour la plupart, de donner un développement parallèle basé sur la distance de trace. Cependant, il s'avère que la fidélité est un outil plus facile à calculer, et pour cette raison, nous nous limitons à des considérations basées sur la fidélité.

J'imagine que c'est en partie pourquoi la fidélité est utilisée. Il semble qu'il soit assez utile comme mesure statique de la distance.

Il semble également y avoir des extensions relativement simples de la fidélité aux ensembles d'États

$$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$$

ρ j E 0 ≤ F ≤ $p_j$ la probabilité de préparer le système dans les états , et le canal bruyant particulier d'intérêt, .$\rho_j$$\mathcal{E}$$0\leq F\leq 1$

Il existe également une extension de la fidélité de l'intrication, pour mesurer dans quelle mesure un canal préserve l'intrication. Étant donné un état supposé être enchevêtré dans le monde extérieur d'une certaine manière, et une purification de l'état (système fictif ), de sorte que est pur. L'état est soumis à une dynamique dans le canal . Les nombres premiers indiquent l'état après l'application de l'opération quantique. est la carte d'identité sur le système .R R Q E I R$Q$$R$$RQ$$\mathcal{E}$$\mathcal{I}_R$$R$

$$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$$

Il y a quelques formules dérivées pour simplifier les calculs de fidélité et de fidélité enchevêtrement également données dans le chapitre.

L'une des propriétés intéressantes de la fidélité enchevêtrement est qu'il existe une formule très simple qui permet de la calculer exactement.

$$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$$

où les «éléments d'opération» satisfont une relation d'exhaustivité. Peut-être que quelqu'un d'autre peut commenter des implémentations plus pratiques, mais c'est ce que j'ai appris de la lecture.$E_i$

Mise à jour 1: Re M.Stern

C'est la même référence Nielsen et Chuang. Ils commentent cela en disant: "Vous vous demandez peut-être pourquoi la fidélité apparaissant à droite de la définition est au carré. Il y a deux réponses à cette question, une simple et une complexe. La réponse simple est que l'inclusion de ce terme carré rend la fidélité d'ensemble plus naturellement liée à la fidélité enchevêtrement, telle que définie ci-dessous. La réponse plus complexe est que l'information quantique est, à l'heure actuelle, à un stade embryonnaire et qu'il n'est pas tout à fait clair quelles sont les définitions «correctes» pour des notions telles que l'information Néanmoins, comme nous le verrons au chapitre 12, la fidélité moyenne d'ensemble et la fidélité d'intrication donnent lieu à une riche théorie de l'information quantique, ce qui nous fait croire que ces mesures sont sur la bonne voie,

Pour répondre à votre deuxième question de savoir pourquoi ne pas regarder la fidélité de , il y a un bon point mentionné dans "Mesures de différenciation entre les ensembles d'états quantiques" qui je pense est dans PhysRevA mais il y a une version arXiv ici .$\bar{\rho}$

Le point qu'ils mentionnent à la page 4, c'est que vous avez deux ensembles et qui se trouvent avoir la même matrice de densité moyenne d'ensemble, , puis la fidélité ne peut pas les distinguer.σ ˉ ρ = ˉ σ F ( ˉ ρ , ˉ σ$rho$$\sigma$$\bar{\rho}=\bar{\sigma}$$F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

Mise à jour 2: Re Mithrandir24601 Donc, une définition de la fidélité de porte est motivée par la réflexion sur le comportement le plus défavorable d'un canal , pour un état d'entrée donné.$\mathcal{E}$

$$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$$

En raison de la concavité des deux arguments, vous pouvez vous limiter aux états purs dans cette minimisation, l'équivalence dans la deuxième partie est simplement de la notation.

Lors de la définition de la qualité de mise en œuvre d'une porte, on peut également examiner la mise en œuvre la plus défavorable d'une porte unitaire par un canal en définissant$U$$\mathcal{E}$

$$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$$

Dans la formule que vous avez donnée et le papier que vous avez lié, ils s'intègrent sur , avec une mesure appropriée . Cela me fait penser que cela devrait plutôt être considéré comme une fidélité moyenne , que vous pouvez imaginer peut-être plus utile dans les expériences pratiques, surtout si vous répétez l'expérience. Il est probablement peu probable d'atteindre le minimum exact.$\psi$$^*$$\bar{F}(U,\tilde{U})$

Il y a une version arXiv d'un document ici par Michael Nielsen où il parle de la fidélité de la porte moyenne.

La seule différence supplémentaire entre la fidélité d'une porte et la fidélité moyenne d'une porte mentionnée par rapport à la formule que vous avez fournie initialement est le carré de la trace: vous avez. Comme dans la mise à jour 1, certaines personnes préfèrent utiliser comme fidélité plutôt que , car il peut être supposé être plus facilement connecté à la fidélité enchevêtrement. J'ai besoin de lire un peu plus à ce sujet pour commenter correctement.$[\operatorname{trace}]^2$$F^2$$F$

( ) En plus : Je pense que l'appeler une «mesure de Haar» peut être trompeur, je l'ai également vu dans les journaux. Autant que je sache, l'espace des états purs est généralement topologique , pour un espace hilbert à dimensions. Apparemment, la mesure qu'ils utilisent est héritée de la mesure haar sur par un quotient ou alors j'ai lu ici: /physics//a/98869/41998 .$\,^*$$\Bbb{CP}^n$$n$$U(n)$