Qu'est-ce que l'intrication quantique et quel rôle joue-t-elle dans la correction des erreurs quantiques?

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Je veux comprendre ce qu'est l'intrication quantique et quel rôle joue-t-elle dans la correction des erreurs quantiques.

REMARQUE : Conformément aux suggestions de @JamesWootton et @NielDeBeaudrap, j'ai posé une question distincte pour l'analogie classique ici .

entanglement error-correction

— Chinni
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Je dirais que c'est un peu trop large comme demandé. Peut-être quelque chose de plus comme "pourquoi l'intrication est-elle nécessaire pour la correction d'erreur quantique", et poser une question distincte pour l'analogie classique.

— James Wootton

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J'ai réduit ma question à une question, puis j'ai réalisé que cela biaiserait ma réponse plutôt que celle des pyramides. Mais @Chinni, je suis d'accord avec James que vous devriez vous concentrer sur l'une des deux questions.

— Niel de Beaudrap

@JamesWootton et Niel, Merci pour les conseils. Je garderai cela à l'esprit à partir de maintenant. Mais puisqu'il y a déjà trois réponses à cette question, est-ce que ça va si je la divise en deux questions distinctes?

— Chinni

@Chinni Je pense que ça va. Vous devriez peut-être informer les répondeurs dans les commentaires ci-dessous de leur réponse qu'ils peuvent également «diviser» leur réponse (le cas échéant).

— Lézard discret du

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Les corrélations classiques entre les variables se produisent lorsque les variables semblent aléatoires, mais dont les valeurs sont systématiquement en accord (ou en désaccord) d'une manière ou d'une autre. Cependant, il y aura toujours quelqu'un (ou quelque chose) qui «sait» exactement ce que font les variables dans un cas donné.

L'intrication entre les variables est la même, sauf pour la dernière partie. Le caractère aléatoire est vraiment aléatoire. Les résultats aléatoires sont complètement indécis jusqu'au moment de la mesure. Mais d'une manière ou d'une autre, les variables, bien qu'elles puissent être séparées par des galaxies, savent toujours être d'accord.

Alors qu'est-ce que cela signifie pour la correction des erreurs? Commençons par penser à la correction d'erreurs pour un peu simple .

Lors du stockage d'un bit classique, les types d'erreurs dont vous devez vous soucier sont des choses telles que les retournements et les effacements de bits. Donc, quelque chose pourrait vous faire 0devenir un 1, ou vice-versa. Ou votre morceau pourrait s'éloigner quelque part.

Pour protéger les informations, nous pouvons nous assurer que nos bits logiques (les informations réelles que nous voulons stocker) ne se concentrent pas uniquement sur des bits physiques uniques . Au lieu de cela, nous l'étalons. Ainsi, nous pourrions utiliser un encodage à répétition simple, par exemple, où nous copions nos informations sur plusieurs bits physiques. Cela nous permet toujours de diffuser nos informations, même si certains des bits physiques ont échoué.

C'est le travail de base de la correction des erreurs: nous diffusons nos informations, pour qu'il soit difficile pour les erreurs de les gâcher.

Pour les qubits, il y a plus de types d'erreurs à craindre. Par exemple, vous savez peut-être que les qubits peuvent être dans des états de superposition et que les mesures les modifient. Les mesures indésirables sont donc une autre source de bruit, causée par l'interaction de l'environnement (et donc en quelque sorte «en regardant» nos qubits). Ce type de bruit est appelé décohérence.

Alors, comment cela affecte-t-il les choses? Supposons que nous utilisons l'encodage de répétition avec des qubits. Nous remplaçons donc le dans notre état qubit logique désiré avec , répété sur de nombreux qubits physiques, et remplacez le avec . Cela protège à nouveau contre les flips et les effacements de bits, mais il est encore plus facile pour les mesures parasites. Maintenant, l'environnement mesure si nous avons ou en regardant l' un des nombreux qubits. Cela rendra l'effet de décohérence beaucoup plus fort, ce qui n'est pas du tout ce que nous voulions! $|0\rangle$ $|000...000\rangle$ $|1\rangle$ $|111...111\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

Pour résoudre ce problème, nous devons rendre difficile la décohérence pour perturber nos informations de qubit logique, tout comme nous l'avons rendu difficile pour les retournements de bits et les effacements. Pour cela, nous devons rendre plus difficile la mesure de notre qubit logique. Pas trop difficile que nous ne pouvons pas le faire quand nous le voulons, bien sûr, mais trop difficile pour que l'environnement le fasse facilement. Cela signifie s'assurer que la mesure d'un seul qubit physique ne nous dit rien sur le qubit logique. En fait, nous devons faire en sorte qu'un tas de qubits doivent être mesurés et leurs résultats comparés pour extraire toute information sur le qubit. Dans un certain sens, c'est une forme de cryptage. Vous avez besoin de suffisamment de pièces du puzzle pour avoir une idée de l'image.

Nous pourrions essayer de le faire de façon classique. Les informations pourraient être réparties en corrélations complexes entre plusieurs bits. En regardant suffisamment de bits et en analysant les corrélations, nous pouvons extraire des informations sur le bit logique.

Mais ce ne serait pas le seul moyen d'obtenir ces informations. Comme je l'ai mentionné précédemment, classiquement, il y a toujours quelqu'un ou quelque chose qui sait déjà tout. Peu importe qu'il s'agisse d'une personne ou simplement des motifs dans l'air causés lors du cryptage. Quoi qu'il en soit, les informations existent en dehors de notre encodage, et c'est essentiellement un environnement qui sait tout. Son existence même signifie que la décohérence s'est produite à un degré irréparable.

Voilà pourquoi nous avons besoin d'enchevêtrement. Avec cela, nous pouvons cacher l'information en utilisant des corrélations dans les résultats aléatoires vrais et inconnaissables des variables quantiques.

— James Wootton
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L'intrication est une partie naturelle de l'information quantique et du calcul quantique. S'il n'est pas présent --- si vous essayez de faire les choses de telle manière que l'intrication ne se produise pas --- alors vous n'obtenez aucun avantage du calcul quantique. Et si un ordinateur quantique fait quelque chose d'intéressant, cela produira beaucoup d'intrication, au moins comme effet secondaire.

Cependant, cela ne signifie pas que l'intrication est "ce qui fait fonctionner les ordinateurs quantiques". L'enchevêtrement est comme les engrenages qui tournent d'une machine: rien ne se passe s'ils ne tournent pas, mais cela ne signifie pas que faire tourner ces engrenages rapidement est suffisant pour que la machine fasse ce que vous voulez. (L'intrication est une ressource primitive de cette manière pour la communication , mais pas pour le calcul, pour autant que quiconque ait pu le voir.)

Cela est aussi vrai pour la correction d'erreur quantique que pour le calcul. Comme toutes les formes de correction d'erreurs, la correction d'erreurs quantiques fonctionne en distribuant des informations autour d'un système plus vaste, en particulier dans les corrélations de certaines informations mesurables. L'intrication est juste la façon habituelle dont les systèmes quantiques deviennent corrélés, il n'est donc pas surprenant qu'un bon code de correction d'erreur quantique implique alors beaucoup d'intrication. Mais cela ne signifie pas qu'essayer de «pomper votre système enchevêtrement», comme une sorte de ballon d'hélium, est quelque chose qui est utile ou significatif à faire pour protéger les informations quantiques.

Bien que la correction d'erreurs quantiques soit parfois décrite vaguement en termes d'enchevêtrement, la façon dont elle implique des contrôles de parité utilisant différents «observables» est plus importante. L'outil le plus important pour décrire cela est le formalisme des stabilisateurs. Le formalisme du stabilisateur peut être utilisé pour décrire certains états avec de grandes quantités d'intrication, mais plus important encore, il vous permet de raisonner assez facilement sur les propriétés multi-qubit ("observables"). De ce point de vue, on peut comprendre que la correction d'erreur quantique est beaucoup plus étroitement liée à la physique des corps à basse énergie des hamiltoniens de spin que l'intrication en général.

— Niel de Beaudrap
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Il n'y a pas d'équivalent classique à l'intrication. L'intrication est peut-être mieux comprise en utilisant la notation Dirac (bra-ket).

Il est sans importance que dans cet exemple, les qubits enchevêtrés se trouvent être dans des états opposés: ils pourraient aussi bien être dans le même état et toujours enchevêtrés. Ce qui compte, c'est que leurs États ne soient pas indépendants les uns des autres. Cela a provoqué des maux de tête majeurs pour les physiciens car cela signifie que les qubits (ou les particules qui les portent) ne peuvent pas simultanément avoir des propriétés strictement locales et être régis par un concept appelé réalisme (refléter leurs états en tant que propriété intrinsèque). Einstein a appelé le paradoxe qui en résulte (si vous présumez toujours la localité et le réalisme) «une action effrayante à distance».

L'intrication ne joue pas un rôle spécial dans la correction d'erreur quantique: la correction d'erreur doit fonctionner pour chaque état de la base de calcul (qui n'a pas d'intrication). Ensuite, il fonctionne automatiquement également pour les superpositions de ces états (qui peuvent être des états intriqués).

— pyramides
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Je veux mieux comprendre cela, s'il y a un enchevêtrement, alors les performances de ces algorithmes de correction d'erreur s'amélioreront-elles ou vont-elles empirer? Est-il également possible d'avoir un système quantique sans enchevêtrement?

— Chinni

\otimes

$\otimes$

@pyramids: Je pense que la déclaration "il n'y a pas d'équivalent classique à l'intrication" est (bien que commune à dire) une déclaration légèrement forte. Il existe un analogue classique , bien qu'il ne soit en aucun cas profondément mystérieux. Nous l'invoquons chaque fois que nous expliquer ce qu'est l'intrication --- et ensuite affirmer hardiment "l'intrication n'a pas d'analogue classique" afin d'empêcher les gens de confondre l'intrication avec ce même analogue classique. Mais dans le contexte de la correction des erreurs, le rôle de cet analogue classique est précisément ce qui est en cause, car c'est ce qui fait que la correction d'erreurs classique fonctionne

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap Selon ma compréhension de l'intrication (un état non lié au produit), cette affirmation est précise plutôt qu'excessivement forte.

— pyramides

Une paire de variables aléatoires classiques corrélées est également un état non-produit, et c'est précisément de cette manière qu'il s'agit d'un analogue classique de l'intrication. Ce qui rend votre affirmation «forte», c'est qu'il y a une liberté de choix où l'on trace la ligne, entre des phénomènes «analogues» plutôt que «non analogues», et il se trouve que vous avez tracé la ligne à un seuil élevé (comme c'est le cas conventionnel pour l'intrication, pour des raisons historiques).

— Niel de Beaudrap du

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Pour une certaine classe de codes dite pure , la présence d'enchevêtrement est une condition nécessaire et suffisante pour la correction d'erreur quantique, c'est-à-dire pour corriger toutes les erreurs affectant jusqu'à un certain nombre de sous-systèmes.

$\{E_\alpha\}$ $|i_\mathcal{Q}\rangle$ $E_\alpha$

⟨ i_{Q} | E_{α} | j_{Q} ⟩ = δ_{i j} C (E_{α}) . (1)

$\begin{equation} \langle i_\mathcal{Q} | E_\alpha | j_\mathcal{Q} \rangle = \delta_{ij} C(E_\alpha). \quad\quad\quad (1) \end{equation}$

$C(E_\alpha)$ $E_\alpha$ $i$ $j$ $E_\alpha$ $C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$

$E_\alpha$ $(d-1)$ $d$ $\lfloor(d-1)/2\rfloor$

$d$ $(d-1)$ $E_\alpha \neq \mathbb{1}$ $|v_\mathcal{Q} \rangle$

⟨ E ⟩ = tr (E | v_{Q} ⟩ ⟨ v_{Q} |) = ⟨ v_{Q} | E_{α} | v_{Q} ⟩ = tr (E) = 0.

$\begin{equation} \langle E \rangle = \operatorname{tr}(E |v_\mathcal{Q} \rangle\langle v_\mathcal{Q}|) = \langle v_\mathcal{Q} |E_\alpha|v_\mathcal{Q} \rangle = \operatorname{tr}(E) = 0. \end{equation}$

$(d-1)$ $(d-1)$ $|v_\mathcal{Q}\rangle$ $(d-1)$

$E_\alpha$ $d$ $|v\rangle, |w\rangle$

⟨ v | E_{α} | v ⟩ = ⟨ w | E_{α} | w ⟩ .

$\begin{equation} \langle v| E_\alpha | v\rangle = \langle w | E_\alpha| w\rangle. \end{equation}$

$d$

Addendum: nous avons approfondi cette question, des détails peuvent être trouvés dans le document Quantum Codes of Maximal Distance and Highly Entangled Subspaces . Il y a un compromis: plus un code quantique peut corriger d'erreurs, plus chaque vecteur de l'espace de code doit être enchevêtré. Cela a du sens, car si les informations n'étaient pas réparties entre de nombreuses particules, l'environnement - en lisant quelques qubits - pourrait récupérer le message dans l'espace de code. Cela détruirait alors nécessairement le message codé, en raison du théorème de non-clonage. Ainsi, une distance élevée nécessite un enchevêtrement élevé.

— Felix Huber
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Voici une façon de penser le rôle de l'intrication dans les codes quantiques qui, je pense, est complémentaire à la réponse de Felix Hubers.

$|\Psi\rangle_{RQ}$ $Q$ $Q$ $S_1,S_2,S_3$

Ensuite, il y a une manière entropique de penser les conditions de correction d'erreur (par rapport aux conditions plus algébriques de Knill-Laflamme). Plus précisément, si

I (R : S_{3}) = 0

$I(R:S_3) = 0$

$Q$ $S_1S_2$

En utilisant cette approche entropique de la correction d'erreurs, il existe des voies assez directes pour comprendre l'intrication dans les codes. Par exemple, nous pouvons prouver que,

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) \geq 2 \log d_{R}

$I(S_1S_2:S_3) \geq 2\log d_R$

comme suit. Nous écrivons d'abord ces informations mutuelles en termes de définition,

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{1} S_{2}) + S (S_{3}) - S (S_{1} S_{2} S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_1S_2) + S(S_3) - S(S_1S_2S_3)$

$X$ $RS_1S_2S_3X$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} X R) + S (S_{3}) - S (X R)

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3XR) + S(S_3) - S(XR)$

$Q$ $S_1S_2$ $I(R:S_3X)=I(R:X)=0$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} | X) + S (S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3|X) + S(S_3)$

$2 \log d_R$ $S_3$ $S_1$ $Q$ $S_3$ $Q$ $S_3$ $2\log d_R$ $2\log d_R$ $I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$

I (R : S_{1} S_{3}) - I (R : S_{1}) = S (S_{3} | S_{1}) + S (S_{3} | X S_{2}) \leq S (S_{3}) + S (S_{3} | X)

$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1) = S(S_3|S_1) + S(S_3|XS_2) \leq S(S_3) + S(S_3|X)$

$I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$ $S_1S_3$ $Q$ $I(R:S_1)=0$ $S(S_3) + S(S_3|X)$ $I(S_1S_2:S_3)$

— Alex May
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