Ce n'est pas une réponse vraie, mais une extension sur le calcul des diagrammes de diffraction à partir de la réponse de @ whuber .
Tout d'abord, nous avons l'intégrale de diffraction. La fonction U p décrit l'amplitude complexe dans le plan d'observation à une distance ( x p , y p ) de l'axe optique, et une distance L z de la source (une sorte d'objet diffractif, par exemple à sténopé, l' ouverture de la caméra, etc. ) U s est une fonction qui décrit l'amplitude complexe dans le plan source; pour un trou d'épingle extrêmement petit, vous pouvez utiliser une fonction dirac delta . La troisième variable dans U s est 0 car, pour des raisons de commodité, on dit que l'objet diffractif est l'origine du système de coordonnées. Les variables x set y s dans ses arguments en tenant compte du fait que l'objet peut avoir une certaine taille dans le plan x – y .
Cela peut ne pas sembler être une intégrale aussi terrible, mais k et r sp ne sont que des notations pour quelque chose de plus grand:
Intégrer une fonction avec un radical avec des termes carrés dans le numérateur de e et dans le dénominateur est une très mauvaise intégrale.
On simplifie l'intégrale en supprimant les racines carrées en utilisant la représentation en série binomiale et en tronquant les termes d'ordre supérieur. L' intégrale de Fraunhofer est valable quand on a besoin de 2 termes; l' intégrale de Fresnel est pour quand on a besoin de 3 termes. La preuve en est quelque peu nuancée, mais elle dépasse le cadre de la présente.
Lorsque nous commençons à manipuler ces éléments pour obtenir les intégrales de diffraction de Fresnel et Fraunhofer, nous obtenons trois quantités.
Si Nfd * ( θ d ) 2 << 1, l'intégrale de Fresnel est valide. Si cela est vrai et Nfs << 1, l'intégrale de Fraunhofer est vérifiée .
Les deux intégrales sont:
Fresnel:
Fraunhofer:
où
,
et ν x et ν y sont la taille de la source dans une dimension donnée divisée par la longueur d'onde de la lumière multipliée par la distance à la source. Normalement, il serait écrit ν s = d / ( λx s ).
Répondre à la question de @ whuber sur la raison pour laquelle vous pouvez avoir besoin de l'un ou de l'autre, malgré ce que dit Wikipédia, nécessite un peu de réflexion.
Le commentaire "au niveau du plan focal d'un objectif d'imagerie ..." provient probablement d'un manuel et l'implication est que la source de la diffraction (c.-à-d. Le trou d'épingle, la fente, peu importe - ces équations sont agnostiques quant à la géométrie de la source) est très loin. Malheureusement, non seulement l’objectif de Fraunhofer le permet, mais la diffraction provient également de l’objectif de la caméra.
Le modèle correct pour la diffraction à partir de l'ouverture d'un appareil photo est une ouverture à n côtés ( n est le nombre de lamelles d'ouverture de l'objectif) éclairée par une source ponctuelle à l'emplacement de la chose dans l'image qui produit le motif étoilé.
Lorsque les objets sont vraiment très éloignés (quelques mètres suffisent), les sources ponctuelles se comportent comme s'il s'agissait d'ondes planes et les dérivations effectuées sur Wikipedia sont correctes.
Par exemple, l'ouverture d'un objectif double Gauss de 50 mm est de l'ordre de 40 à 60 mm du plan de l'image. Deux lentilles situées derrière l’arrêt physique l’imaginent sur une distance plus grande que celle indiquée (c’est l’emplacement de la pupille de sortie), mais la pupille de sortie n’est pas celle où la fonction U s ( x s , y s , 0) est centré!
Pour une lumière à ouverture de rayon 500 nm et 1 mm, nous pouvons vérifier si l’intégrale de Fraunhofer est valide. Il est égal à (0,001) 2 / (500 * 10 -9 * 50 * 10 * 3 ), ou 40, qui est >> 1 et l'intégrale de Fraunhofer est invalide. Pour la lumière visible, tant que la limite d' ouverture est de l'ordre du millimètre du détecteur, Nfs ne sera jamais proche de 1, encore moins beaucoup plus petit.
Ces équations peuvent différer quelque peu de celles de Wikipedia; Je citerais l'OPT 261, Interference & Diffraction, de l'institut d'optique de l'Université de Rochester, enseigné par le professeur Vamivakas. Les équations dans Optics de Hecht devraient être assez similaires. Les équations sont pour l' amplitude complexe , pour obtenir l' irradiance (intensité ou luminosité), vous devez prendre la magnitude au carré du résultat.
