Comme mentionné dans le texte lié et dans la réponse de @ grfrazee , le secret est les lignes d'influence. Ou, plus généralement, influencent les surfaces.
Pour commencer, restons sur les lignes d'influence, car elles sont beaucoup plus faciles à décrire. Une ligne d'influence est un diagramme pour un point donné sur un objet composé d'éléments de faisceau unidimensionnels. Il décrit la force interne qui se produira sur ce point en raison d'une charge unitaire appliquée à différents points le long de la structure entière.
Par exemple, une poutre simplement supportée a la ligne d'influence du moment de flexion suivante pour le point à un quart d'envergure (je vais principalement parler des lignes d'influence du moment de flexion ici, mais l'essentiel général des choses s'applique également aux autres forces ):
Cela signifie que si une charge verticale unitaire concentrée (disons 1 kN) était appliquée à ce point, cela provoquerait un moment de flexion à ce point égal à 0,75 kNm (ou 7,5 kNm si la charge était de 10 kN). Si, en revanche, la charge unitaire était appliquée à mi-portée, le moment ressenti au quart de travée serait égal à 0,50 kNm. Etc.
Cela vous indique également que le pire des cas pour ce point est d'avoir la structure entière chargée. Cela peut être vu par le simple fait que toutes les valeurs sur la ligne d'influence sont positives, donc une charge appliquée à n'importe quel point sur cette poutre augmentera les forces internes se produisant au quart de portée.
Il s'agit cependant d'une structure isostatique qui peut être résolue de manière triviale. Une fois que vous entrez dans des structures hyperstatiques (statiquement indéterminées), les choses deviennent désordonnées. Par exemple, jetez un œil à ce faisceau hyperstatique relativement simple:
Il s'agit d'une structure relativement simple, mais il est déjà impossible de trouver une solution de forme fermée pour le meilleur emplacement précis des charges. Pour les structures non triviales, les lignes d'influence sont pénibles. 1 Vous pouvez cependant remarquer une chose importante: au niveau des supports, la valeur est nulle et passe du positif d'un côté au négatif de l'autre. Cela se produit dans toutes les structures. Si, au lieu des supports, vous aviez des colonnes, la valeur des colonnes ne sera pas réellement égale à zéro en raison de la déformabilité de la colonne. Cela étant dit, le résultat est généralement très proche de zéro, vous pouvez donc généralement considérer les colonnes comme parfaitement rigides (c'est-à-dire comme des supports normaux) avec pratiquement aucune perte de précision (en supposant des dispositions raisonnables).
Donc, si vous ne traitez qu'avec des charges réparties (comme dans un bâtiment), c'est la seule règle dont vous avez besoin pour trouver votre solution: si vous recherchez le moment de flexion positif maximum (tension sur la fibre inférieure), appliquer des charges sur la travée en question, ne pas appliquer de charges sur les travées voisines, appliquer sur celles voisines de celles-ci, etc. Dans ce cas, les valeurs réelles de la ligne d'influence ne sont pas pertinentes, tout ce qui compte c'est le signe (positif ou négatif) à chaque travée. En gros, voici la règle sous forme graphique:
Cependant, que se passe-t-il si vous construisez un pont et que vous devez prendre en compte la position du train de charges, qui est composé de charges concentrées? Pour compliquer les choses, la position du train de charges a généralement une charge vive répartie plus faible (le cas échéant), ce qui signifie qu'il y a une interaction entre ces deux parties.
Donc, en regardant le deuxième chiffre, où mettriez-vous le train de charge? Il est assez intuitif de le placer près de la valeur maximale (dans ce cas 0,3704). Mais que faire si vous avez un nombre pair de roues ou si votre train de charges est asymétrique? Voulez-vous mettre le centre de charge du camion au maximum? Voulez-vous certifier que la roue la plus lourde est au maximum? Votre charge uniforme est-elle si terriblement élevée que, en fait, vous feriez mieux de placer le camion loin où il ne réduira pas le résultat en raison de votre charge uniforme?
Pire encore, que se passe-t-il si vous recherchez réellement votre enveloppe de moment de flexion négative? Ensuite, vous savez que vous voulez que votre camion soit à la travée voisine, où le signe de la ligne d'influence est négatif, mais encore une fois, où le placez-vous? Vous devrez dériver l'équation de cette courbe afin de trouver le point de la valeur maximale (ce n'est pas au milieu de cette plage), puis vous aurez toujours les mêmes problèmes décrits ci-dessus.
Ce sont toutes des possibilités qui ne peuvent pas être réduites à une solution de forme fermée pour une structure générique. Vous devez donc compter sur un logiciel.
Ce que la plupart des programmes font, c'est tricher . Ils rapprochent la solution en effectuant une analyse de la charge mobile. Tout d'abord, ils utilisent des lignes d'influence comme décrit ci-dessus pour savoir où placer les charges uniformes. Ensuite, pour le train de charge lui-même, ils le placent simplement à un endroit, calculent les résultats, le déplacent d'une certaine distance (généralement définie par l'utilisateur), calculent les nouveaux résultats et répètent. Il obtient alors le pire des cas et l'adopte.
Cette méthode est évidemment viciée car, si vous utilisez une taille de pas égale, disons, à un mètre, vous ne savez pas si cette valeur maximale trouvée est le vrai maximum ou s'il y avait un certain point entre les étapes testées qui aurait donné un résultat plus élevé (il y en a presque certainement). Il appartient donc à l'utilisateur de définir une taille de pas telle que la différence entre le résultat réel et celui obtenu soit négligeable (j'utilise généralement une taille de pas au plus égale à un dixième de la plus petite durée, de préférence significativement plus petite que cela). 2
Cependant, toute cette réponse s'est appuyée sur des lignes d'influence. Ils sont utiles pour les structures linéaires telles que les systèmes de poutres simples et même certains ponts. Mais si vous avez une structure vraiment tridimensionnelle, les lignes d'influence ne la coupent pas et doivent être généralisées pour influencer les surfaces. Ce ne sont que la version tridimensionnelle des lignes d'influence. Cependant, comme toutes ces choses, les surfaces d'influence sont des ordres de grandeur plus difficiles à obtenir. Chaque programme que je connais qui peut les calculer les force brutalement: ils appliquent une force concentrée à chaque nœud, un à la fois, et voient ce qui se passe.
Cela étant dit, en ce qui concerne les charges réparties, la même approche suggérée ci-dessus (appliquer sur une travée, ignorer ses voisins, appliquer sur les suivantes, etc.) peut également être appliquée avec succès pour les surfaces d'influence. Dans ce cas, cela devient une sorte d'approximation car les limites entre les dalles ne sont généralement que des poutres qui sont assez flexibles pour les déplacements verticaux (par rapport aux colonnes ou aux supports réels). Cela signifie que, contrairement au cas des lignes d'influence, où la valeur de la ligne d'influence sur les supports est égale (ou presque) à zéro, la valeur sur les supports de dalle (les poutres) ne l'est pas nécessairement. Cela étant dit, l'erreur est généralement raisonnable (surtout compte tenu des faibles valeurs d'influence pour les dalles autres que celle étudiée).
Cela étant dit, il est assez courant de supposer simplement pour les bâtiments ( pas les ponts ) que le pire des cas concerne l'ensemble de la structure sous charge, sans tenir compte des lignes d'influence. Ceci est supposé savoir qu'il est faux et va à l'encontre de la sécurité (ne pas charger des dalles voisines entraînerait un moment de flexion positif plus grand que celui obtenu en chargeant la structure entière), mais cela équivaut à supposer que la valeur de la ligne d'influence sur les dalles voisines est si petit qu'il peut être considéré comme égal à zéro. La validité d'une telle hypothèse dépend de la configuration de chaque structure.
Comme mentionné par @Arpi dans les commentaires de cette réponse , il convient également de mentionner que tout cela suppose un comportement linéaire. Si votre analyse n'est pas linéaire, alors tout s'effondre. La non-linéarité brise tout.
Toutes les figures ici ont été créées avec Ftool , un outil gratuit d'analyse d'images 2D.
1 Il est en fait assez facile de déterminer vous-même les lignes d'influence si vous disposez d'un logiciel d'analyse, même s'il ne les calcule pas lui-même. Pour les moments de flexion, placez une charnière sur le point souhaité et appliquez des moments de flexion égaux et opposés de chaque côté de la charnière de manière à créer une rotation unitaire dans la configuration déformée. Cette configuration déformée est votre ligne d'influence. Cette même idée ( le principe de Müller Breslau , qui est basé sur le théorème de travail réciproque de Maxwell-Betti ) peut également être appliquée pour trouver les lignes d'influence des autres forces.
2 Le logiciel Ftool utilisé pour dessiner ces chiffres utilise en fait un algorithme génétique pour trouver la position optimale du train de charges. Ce n'est pas analytique et est en fait quelque chose d'approximation, mais c'est à toutes fins utiles exactement correct. L'article qui a développé cette méthode peut être trouvé ici si quelqu'un est intéressé.