Stabilité exponentielle sous une transformation de coordonnées globale

Considérons un système de la forme où et est une fonction suffisamment lisse à l'origine en train de disparaître. Supposons que présente un équilibre globalement stable de façon exponentielle à . Appliquons maintenant une transformation de coordonnées globales où

Σ : \dot{x} = f (x),

$\begin{equation} \Sigma\colon\ \dot{x}=f(x), \end{equation}$

x \in R^{n}

$x\in \mathbb{R}^n$

f : R^{n} \to R^{n}

$f\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$

Σ

$\Sigma$

x = 0

$x=0$

z = T (x),

$\begin{equation} z=T(x), \end{equation}$

est undifféomorphismeglobal

. En conséquence, on obtient le système transformé

T : R^{n} \to R^{n}

$T\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$

T (0) = 0

$T(0)=0$

C^{1}

$\mathcal{C}^1$

Question:Est

globalement exponentiellement stable à

Σ^{'} : \dot{z} = g (z) := \frac{\partial T (x)}{\partial x} f (x) |_{x = T^{- 1} (z)} .

$\begin{equation} \Sigma^\prime \colon\ \dot{z}=g(z):=\frac{\partial T(x)}{\partial x}f(x)\bigg|_{x=T^{-1}(z)}. \end{equation}$

Σ^{'}

$\Sigma^\prime$

z = 0

$z=0$

control-engineering control-theory stability

— Mehran
source

Vous devriez peut-être poser cette question à

— math.stackexchange.com

Cela ressemble à une question de devoirs. L'analyse de linéarisation et de valeurs propres montre que

est également stable de manière exponentielle à

. Notez que vous n'avez pas vraiment besoin de

Σ^{'}

$\Sigma'$

z = 0

$z=0$

\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}

$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$

— Tobias