Conception de contrôleur avec méthode de placement des pôles avec temps d'amortissement et de stabilisation donné

On m'a donné les équations suivantes et on m'a demandé de concevoir un contrôleur pour utilisant une méthode de placement de pôles avec le système en boucle fermée ayant le temps d'amortissement et de stabilisation $u=-Kx$ $T_s$ donné.

Suis - je censé utiliser le et $\dot x_1$ $\dot x_2$ équations ou sont-elles totalement sans importance?

En outre, quelle méthode de placement de pôle est la plus facile pour le cas, le locus de la racine ou les parcelles de Bode et de Nyquist?

\begin{matrix} {\dot{X}}_{1} = X_{2} \\ {\dot{X}}_{2} = - X_{1} + \frac{1}{6} X_{1}^{5} - X_{2} + vous \\ vous = - K X ζ = 1,02 T_{s} = 0,40 \end{matrix}

$\begin{gather} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = -x_1 +\dfrac{1}{6}x_1^5-x_2+u \\ u = -Kx \quad \zeta=1.02 \quad T_s = 0.40 \end{gather}$

control-engineering control-theory stability

— Spe4ker
source

Aucune de vos méthodes proposées ne sera applicable, car votre système n'est pas linéaire (à cause de

x_{1}^{5}

$x_1^5$

— Fibonatic

alors, le processus serait de linéariser et ensuite de concevoir le contrôleur?

— Spe4ker

Oui. Aussi êtes - vous sûr que

, ou faut - il

{\dot{x}}_{1} = {\dot{x}}_{2}

$\dot{x}_1=\dot{x}_2$

{\dot{x}}_{1} = x_{2}

$\dot{x}_1=x_2$

— Fibonatic

Je suis sûr que c'est juste

x_{2}

$x_2$

— Suba Thomas

Étape 1

La première chose à faire est de déterminer les pôles souhaités.

La fréquence naturelle peut être calculée en utilisant . Ceci est un calcul empirique pour les systèmes insuffisamment amortis. Le système ici est légèrement suramorti et non linéaire également. Si le temps de stabilisation souhaité n’est pas obtenu à la fin, nous devons revenir et augmenter légèrement la constante 4. La procédure de conception est généralement itérative. Nous commençons donc par $\omega =\frac{4}{\zeta T_s}$ $\omega =9.80392$

Ensuite, l’équation caractéristique peut être calculée comme suit: , ce qui, après la substitution de valeurs, donne et a des racines et $s^2+2 \zeta s \omega +\omega ^2$ $s^2+20 s+96.1169$ $-11.9706$ $-8.02944$

Étape 2

Mettre le système dans un linéaire de où

\dot{X} = UNE . X + B . v

$\dot{x}=\text{A}.x+\text{B}.v$

X = {(\begin{array}{cc} X_{1} & X_{2} \end{array})}^{T} v = vous + \frac{X_{1}^{5}}{6}

$x=\left( \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ \end{array} \right)^T \ \ \ v=u+\frac{x_1^5}{6}$

UNE = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array}) B = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ \ B=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$

Étape 3 Faites la conception de placement des pôles qui donne utilisant la formule d'Ackerman. $v=-k.x$

k = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}) . {(\begin{array}{cc} B & UNE . B \end{array})}^{- 1} . ({UNE}^{2} + 20 UNE + 96.1169 je)

$k=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \end{array} \right). \left( \begin{array}{cc} \text{B} & \text{A}.\text{B} \\ \end{array} \right)^{-1}. (\text{A}^2+20 \text{A}+96.1169I)$

k = (\begin{array}{cc} 95.1169 & 19 \end{array})

$k=\left( \begin{array}{cc} 95.1169 & 19 \\ \end{array} \right)$

Étape 4

$u$

vous + \frac{X_{1}^{5}}{6} = - 95.1169 X_{1} - 19 X_{2}

$u+\frac{x_1^5}{6}=-95.1169 x_1-19 x_2$

vous = - 95.1169 X_{1} - 19 X_{2} - \frac{X_{1}^{5}}{6}

$u=-95.1169 x_1-19 x_2-\frac{x_1^5}{6}$

Étape 5

Vérification. Nous devons voir si la conception a répondu aux exigences. (Ces simulations ont été effectuées dans Mathematica. Les calculs ci-dessus auraient également pu être effectués ici. Je les ai passés manuellement ci-dessus pour expliquer certaines choses.) Nous voyons dans l'intrigue que la contrainte de temps d'établissement a été satisfaite.

— Suba Thomas
source

Explication très détaillée. Je comprends que l’essentiel était de partir de l’hypothèse d’un comportement dominant du second ordre et de trouver les pôles de la boucle fermée de s2 + 2ζsω + ω2 = 0. Si je n’ai pas accès à mathematica ou matlab, puis-je calculer le temps de stabilisation avec e ^ ζsωts en regardant simplement le graphique standard?

— spe4ker

De plus, si je veux prouver la stabilité du système via la méthode de la fonction lyapunov, comment puis-je approximer une équation initiale?

— Spe4ker

\frac{x_{1}^{5}}{6}

$\frac{x_1^5}{6}$

\frac{4}{ζ ω}

$\frac{4}{\zeta \omega }$

\dot{x} = A . x + B . v

$\dot{x}=A.x+B.v$

v = - K . x

$v=-K.x$ sont équivalents au système final. Vous pouvez effectuer l’analyse de stabilité de Lyapunov à cet effet comme vous le feriez pour tout système linéaire de ce type.

— Suba Thomas