Conversion des composants du contrôleur PID avec retour d'état en fonction de transfert unique et sous forme d'espace d'état discret

Je lutte avec ce problème depuis environ une semaine maintenant, dans le cadre d'un projet d'un an. Nous concevons un contrôleur pour un réacteur spécifique basé sur un modèle. Après avoir regardé cela pendant un certain temps, je n'arrive toujours pas à le faire fonctionner - donc j'apprécierais vraiment si je pouvais obtenir de l'aide.

L'une des revues de littérature publiées sur lesquelles nous nous sommes fortement appuyés répertorie un contrôleur PID dans chaque composant distinct au lieu d'une équation combinée, comme ceci:

{\begin{cases} P (n) = K_{p} [g (n) - t une r g e t] \\ je (n) = je (n - 1) + \frac{K_{p}}{T_{je}} [g (n) - t une r g e t] \\ ré (n) = K_{p} T_{ré} \frac{ré g}{ré t} (n) \end{cases}

$\begin{cases} P(n)=K_p[G(n)-target] \\I(n)=I(n-1)+\frac{K_p}{T_I}[G(n)-target]\\D(n)=K_pT_D\frac{dG}{dt}(n)\end{cases}$

Combiner simplement les trois composants dans la sortie du régulateur PID:

P je ré (n) = P (n) + je (n) + ré (n)

$PID(n)=P(n)+I(n)+D(n)$

Et à partir de là, l'auteur ajoute une couche supplémentaire de rétroaction d'état au-dessus du signal PID pour obtenir la sortie finale du contrôleur appliquée au système.

{\begin{cases} Q (n) = K_{0} R (n - 1) + K_{1} Q (n - 1) - K_{2} Q (n - 2) \\ R (n) = (1 + γ) P I D (n) - γ Q (n - 1) \end{cases}

$\begin{cases} Q(n)=K_0R(n-1)+K_1Q(n-1)-K_2Q(n-2)\\R(n)=(1+\gamma)PID(n)-\gamma Q(n-1)\end{cases}$

Et R est la «sortie du contrôleur» finale. Ici, est le gain de processus, et sont les gains intégraux et dérivés, et sont des "gains" accordés pour le retour d'état (immuable), et est une constante, 0,5. est l'état du système, est un état estimé qui affecte la dynamique du modèle et est la sortie finale réelle qui est envoyée à l'usine. $K_p$ $T_I$ $T_D$ $K_0, K_1$ $K_2$ $\gamma$ $G(n)$ $Q(n)$ $R(n)$

J'essayais d'abord de convertir le tout en une seule fonction de transfert de contrôleur, mais on m'a dit que les ajouter ensemble ne fonctionnerait pas.

J'ai également été chargé de trouver une représentation discrète de l'espace d'état de ce contrôleur. Pour cela, j'ai essayé de changer le danspour se débarrasser de ce problème. $\frac{dG}{dt}(n)$ $G(n)-G(n-1)$

Ensuite, j'ai essayé de définir une nouvelle variable d'état pour le afin que le et $Q(n)$ $Q(n-1)$ $Q(n-2)$ puissent être convertis en premier ordre.

J'ai ensuite essayé de substituer les valeurs dans le contrôleur PID, pour obtenir le comme variable d'état. Ces efforts étaient tous basés sur les recommandations de mon professeur. $G(n)$

Cependant, je suis toujours très coincé, car j'ai suivi aveuglément ses instructions sans vision globale pour y travailler. Je pensais que ce serait une simple question de transformation de Tustin - oh, je me trompais vraiment ...

Je suis assez frustré, car après un effort d'une semaine, je suis toujours perplexe face à ce qui semble être un problème simple.

Si possible, puis-je humblement demander votre aide sur ces deux questions spécifiques?

Convertissez ce contrôleur en une seule fonction de transfert de contrôleur (comme on le voit généralement dans toute représentation de fonction de transfert, c'est-à-dire ) $G(s)=\frac{1}{s+1}$
Convertir ce contrôleur en une représentation d'espace d'état discrète, en laissant le taux d'échantillonnage comme variable?

control-system pid-controller

— John Galt
source

MATLAB et Maple peuvent résoudre ces problèmes. J'ai les deux programmes. J'ai imprimé votre message et j'essaierai de les travailler. J'ai fait une partie de cela au collège.

— Wesley Wortman

Pouvez-vous donner le titre de la publication?

— Hazem

Ce n'est pas une réponse complète, mais j'espère que cela pourrait vous être utile.

Vous pouvez réécrire le premier système en

{\begin{cases} P (n) = K_{P} E (n) \\ je (n) = je (n - 1) + \frac{K_{P}}{T_{je}} E (n) Δ t \\ ré (n) = K_{P} T_{ré} \frac{E (n) - E (n - 1)}{Δ t} \end{cases}

$\begin{cases} P(n) = K_P E(n) \\ I(n) = I(n-1) + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t \\ D(n) = K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \end{cases}$

$E(n) = G(n) - target(n)$ $\Delta t$ $T_D$ $T_I$ $K_I = \frac{K_P}{T_I}$ $K_D = K_P T_I$

Vous pouvez maintenant réécrire le système en fonction unique de l'erreur.

P je ré (n) = P (n) + je (n) + ré (n)

$PID(n) = P(n) + I(n) + D(n)$

je (n - 1) = P je ré (n - 1) - P (n - 1) - ré (n - 1) = P je ré (n - 1) - K_{P} E (n - 1) - K_{P} T_{ré} \frac{E (n - 1) - E (n - 2)}{Δ t}

$I(n-1) = PID(n-1) - P(n-1) - D(n-1) \\ = PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t}$

P je ré (n) = K_{P} E (n) + P je ré (n - 1) - K_{P} E (n - 1) - K_{P} T_{ré} \frac{E (n - 1) - E (n - 2)}{Δ t} + \frac{K_{P}}{T_{je}} E (n) Δ t + K_{P} T_{ré} \frac{E (n) - E (n - 1)}{Δ t} = P je ré (n - 1) + K_{P} ((1 + \frac{Δ t}{T_{je}} + \frac{T_{ré}}{Δ t}) E (n) - (1 + 2 \frac{T_{ré}}{Δ t}) E (n - 1) + \frac{T_{ré}}{Δ t} E (n - 2))

$PID(n) = K_P E(n) + PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t} + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t + K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \\ = PID(n-1) + K_P \left(\left(1 + \frac{\Delta t}{T_I} + \frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n) - \left(1 + 2\frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n-1) + \frac{T_D}{\Delta t} E(n-2) \right)$

La seconde est un peu plus complexe à réécrire en une seule équation mais vous pouvez le faire de la même manière. Le résultat devrait être

R (n) = K_{1} R (n - 1) - (γ K_{0} + K_{2}) R (n - 2) + (1 + γ) (P je ré (n) - K_{1} P je ré (n - 1) + K_{2} P je ré (n - 2))

$R(n) = K_1 R(n-1) - (\gamma K_0 + K_2) R(n-2) + (1+\gamma) (PID(n) - K_1 PID(n-1) + K_2 PID(n-2))$

Il ne vous reste plus qu'à substituer l'équation du PID pour obtenir l'équation du régulateur en fonction de l'erreur.

— gvgramazio
source