Montrer que


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Définitions et autres:

Considérons un espace de probabilité filtré (Ω,F,{Ft}t[0,T],P)

  1. T>0
  2. P=P~

Il s'agit d' une mesure neutre au risque .

  1. Ft=FtW=FtW~

W=W~={Wt~}t[0,T]={Wt}t[0,T] est la norme P=P~ - mouvement brun.

Considérons M={Mt}t[0,T]

Mt:=exp(0trsds)P(0,t)

Définir la mesure à terme Q :

dQdP:=MT=exp(0Trsds)P(0,T)

est un processus à taux court et { P ( t , T ) } t [ 0 , T ] est le prix de l'obligation au temps t.{rt}t[0,T]{P(t,T)}t[0,T]

On peut montrer que est une ( F t , P ) - martingale où la dynamique du prix des obligations est donnée par:{exp(0trsds)P(t,T)}t[0,T](Ft,P)

dP(t,T)P(t,T)=rtdt+ξtdWt

  1. et ξ t sont F t -adaptésrtξtFt

  2. satisfait la condition de Novikov (je ne pense pas que ξ t soit censé représenter quelque chose en particulier)ξtξt


Problème:

Définir le processus stochastique stWQ=(WtQ)t[0,T]

WtQ:=Wt0tξsds

Utilisez le théorème de Girsanov pour prouver:

WtQ is standard Q -Brownian motion.

Ce que j'ai essayé:

Puisque satisfait la condition de Novikov,ξt

0Tξtdt< a.s.  0Tξtdt< a.s.

Lt:=exp(0t(ξsdWs)120tξs2ds)

est une martingale.(Ft,P)

Par le théorème de Girsanov,

WtQ is standard P -Brownian motion, where

dPdP:=LT

Je suppose que nous avons que est Q standard -Brownian Motion si nous pouvons montrer queWtQQ

LT=dQdP

J'ai perdu mes notes, mais je pense que j'ai pu montrer en utilisant le lemme d'Ito que

  1. dLt=LtξtdWt
  2. dMt=MtξtdWt

De ceux que je déduis que

d(lnLt)=d(lnMt)

Lt=Mt

LT=MT

QED

Est-ce correct?


Pourquoi le prix des obligations actualisé par le taux court est-il une P-martingale? Votre prix obligataire est un GBM généralisé. Écrivez-la comme l'exponentielle d'une diffusion Ito, il faut voir que l'actualisation par le taux court ne tient pas compte de la correction Ito.
Michael

@Michael, êtes-vous sûr de vouloir dire P comme neutre au risque et non P comme dans le monde réel?
BCLC

OK je vois. Si vous résolvez le SDE pour comme une exponentielle Ito puis remplacez-le par M T , vous verrez que le théorème de Girsanov s'applique immédiatement. Aussi, d LPtMT etdlnLne sont pas identiques dans le réglage Ito. Dans votre argument, on devrait plutôt invoquer l'unicité des solutions fortes des SDE. dLLdlnL
Michael

@Michael Merci! Quelle partie de l'argument exactement?
BCLC

Réponses:


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(En examinant de plus près la question et la notation, la formulation semble poser problème à quelques endroits.)

Fait général

Soit W le mouvement brownien standard par rapport à la filtration (Ft)t[0,T] . Considérons (Lt)t[0,T] défini par

dLtLt=ψtdLt,L0=1.
En général,Lt=e0tψsdWs120tψs2dsest une super martingale. Dans certaines conditions (par exemple la condition de Novikov),Ltest une martingale et on peut définir une mesure de probabilitéQpar
dQdP=LT.
SousQ, le processus
WtQ=Wt0tψsds
est un mouvement brownien standard par rapport à la filtration(Ft)t[0,T].

Une indication informelle pourquoi cela est vrai est la suivante. Considérons Wtλ=Wt+0tλsds . Selon le théorème de Bayes, Wλ est une Q -martingale si et seulement si LWλ est une P -martingale. Depuis

dLWλ=LdWλ+WλdL+dLdWλ=L(ψ+λ)dt+()dW,
nous devons avoirλ=ψ, pour queWλsoit unmouvement brun-Q.

Prix ​​réduit comme densité de probabilité

Les hypothèses implicites sont qu'il existe un actif sous-jacent dont le prix St suit

dStSt=rtdt+σtdWt
titrela mesure de risque neutreP. Lesprocessus detaux court(rt)et de volatilité σtsont adaptés avec une régularité suffisante pour que les intégrales existent. (Pour que cela soit vrai, la filtration brownienne générée par(Wt)sous la mesure neutre au risque doit être la même que celle générée par le mouvement brownien physique sous la mesure physique, de sorte que le théorème de représentation de la martingale s'applique.)

Dans ce cadre de filtration brownienne, à tout moment - T réclame XT , la dynamique neutre au risque de son prix Xt prend la forme

dXtXt=rtdt+ψtdWt.
Le processus(ψt)est la volatilité du rendement deXt, sous la mesure physique et neutre au risque.

En d'autres termes, la dynamique neutre au risque du prix réduit Mt=e0trsdsXt est donnée par

dMtMt=ψtdWt,M0=X0.
(Le prix réduit de touteréclamationT doit suivre une martingale sous mesure neutre au risque, sans arbitrage.)

Si la condition de Novikov est vraie, alors LT=MTM0 définit une densité Radon-Nikodym

dQdP=LT.
SousQ, le processus
Wt0tψsds
est un mouvement brownien standard par rapport à la filtration(Ft)t[0,T].

En d' autres termes, la valeur actualisée gain e0TrsdsXT de tout T de XT , normalisé par son de temps 0 prix X0 , peut être considéré comme la densité de Radon-Nikodym d'une mesure Q . Sous Q , le mouvement brownien neutre au risque a maintenant une dérive donnée par la volatilité du rendement dXtXt .

Si (Yt) est le prix d'un actif négocié, alors e0trsdsYt est une P -martingale. Cela implique que (YtXt)est uneQ-martingale.

Mesure avant

La mesure directe est un cas particulier de ci - dessus où Xt=P(t,T) est le de temps t prix de l'obligation à coupon zéro échéant à T . En particulier, XT=P(T,T)=1 . Dans l'expression

dP(t,T)P(t,T)=rtdt+ξtdWt,
ξtest la volatilité du rendement de l'obligation à coupon zéro.

(Si (rt) est déterministe, alors ξ=0 , et la mesure à terme est la même que la mesure neutre au risque. L'obligation à coupon zéro est un actif risqué uniquement lorsque le taux court est stochastique.)

La mesure correspondante Q est définie par

dQdP=e0TrsdsP(T,T)P(0,T)=LT.
Depuis
dLtLt=ξtdWt,
il résulte de la discussion générale ci-dessus que, sousQ, le processus
Wt0tξsds
est un mouvement brownien standard par rapport à la filtration(Ft)t[0,T].

(Dans la question posée, la martingale Mt doit être e0trsdsP(t,T)P(0,T)

Commentaires empiriques

QQ

Supposer F(t,T)tT

F(t,T)P(t,T)=St
PF(t,T)Q

F(t,T)=StP(t,T)
P(t,T)
d(e0trsdsP(t,T))e0trsdsP(t,T)=ξtdWt,
P(t,T)


Merci. alors ai-je raison? ou pas?
BCLC

1
Mt

Merci Michael!
BCLC
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