Fonction de production CES avec

En utilisant les fonctions de production CES de la forme , nous supposons toujours que . Pourquoi faisons-nous cette hypothèse? Je comprends que si , la fonction de production ne sera plus concave (et donc l'ensemble de production ne sera pas convexe), mais qu'est-ce que cela implique sur les fonctions de profit et de coût? $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ $\rho\leq1$ $\rho>1$

— Sher Afghan
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ρ

$\rho$ ci-dessus entraînerait une solution d'angle où une seule entrée est choisie avec une quantité positive. Étant donné que l'objectif des fonctions de production multi-produits est généralement de modéliser des circonstances dans lesquelles deux entrées sont réellement utilisées, il s'agit d'une caractéristique indésirable.

— BKay

Y aura-t-il une solution au problème de profit max?

— Sher Afghan du

@SherAfghan, la fonction linéaire avec ne semble pas être dans la famille CES, car son élasticité de substitution n'est pas constante.

ρ = 1

$\rho = 1$

— garej

Réponses:

Le problème avec est qu'il signifie que le produit marginal des facteurs n'est pas décroissant ( ) ou constant ( ) mais augmente, ce qui est une hypothèse étrange. De telles fonctions produisent des isoquants qui sont concaves et peuvent conduire à l'utilisation d'un seul facteur (comme l'a dit BKay). $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

Comme dans tout CES générique, le produit marginal du facteur est $x_i$

M P_{i} = {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

La dérivée de ce MP par rapport à est, après quelques réarrangements, $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- i}}{x_{i} y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

Pour , cette expression est positive, ce qui signifie que la productivité d'un facteur augmente à mesure que l'on utilise davantage ce facteur. $\rho>1$

Concernant les isoquants, vous pouvez les trouver en réécrivant la fonction de production sous la forme . Dans le CES générique, c'est $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

Celles-ci sont linéaires dans le cas de , convexes dans le cas de Cobb-Douglas (où la fonction ci-dessus est , une hyperbole), et concaves dans le cas de . Par exemple, sélectionnez et vous avez: $\rho=1$ $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2}^{2} = y^{2} - x_{1}^{2}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

qui est la formule d'un cercle centré sur , de rayon . Normalement, pour la théorie de la production, seul est intéressant, ce qui vous donne les isoquants concaves pour différents niveaux de . La figure ci-dessous montre un exemple, pour un ratio de prix des facteurs donné, il existe une solution de coin (point A): $(0,0)$ $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

(Code pour reproduire la figure ici )

— luchonacho
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Voici ma tentative à cette question, elle est incomplète et / ou incorrecte, alors aidez-moi à faire des suggestions et je vais la modifier.

Minimisation des coûts

Puisque n'est pas quasi-concave, les courbes isoquantes correspondantes ne vont pas être covexées à l'origine (c'est-à-dire que leur ensemble de contour supérieur ne sera pas convexe). Dans ce cas, l'entreprise doit utiliser une solution de coin et les demandes de facteurs conditionnels seront données comme; Ces demandes de facteurs conditionnels donnent la fonction de coût; Maximisation des bénéfices $f(x_1,x_2)$

x_{1} (p, y) = q^{2} a n d x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} < w_{2}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (p, y) = 0 a n d x_{2} (p, y) = q^{2} i f w_{1} > w_{2}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

x_{1} (p, y) = 0, x_{2} (p, y) = q^{2} o r x_{1} (p, y) = q^{2}, x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} = w_{2}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$

C (w, y) = m i n [w_{1} q^{2}, w_{2} q^{2}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

Je suis vraiment confus ici. Bien que la fonction de production soit convexe, elle présente toujours des rendements d'échelle non croissants. . C'est que la solution existera toujours (non?). Alors, comment la non-concavité de la fonction de production affecte-t-elle la solution de maximisation des bénéfices? $f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$

— Sher Afghan
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Votre confusion est facile à clarifier: n'oubliez pas que les préférences convexes n'impliquent pas une fonction utilitaire concave. Ils impliquent seulement que les ensembles de contours supérieurs sont convexes. De même, pour la fonction de production en question, considérons . contrôle si la fonction est concave ou convexe, contrôle si les ensembles de contours sont convexes.

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

— HRSE

Je ne comprends pas, la fonction concave implique que l'ensemble de contour supérieur est convexe. signifie que la fonction est concave et cela implique qu'elle est quasi-concave, ce qui signifie que les ensembles de contours supérieurs à l'ensemble de niveaux sont convexes. Autant que je sache, dans votre exemple produit la transformation monotone de la fonction originale qui peut être concave ou non. Quoi qu'il en soit, comment cela affecte-t-il les solutions de maximisation des bénéfices?

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

— Sher Afghan

Supposons . L'agrégat défini ci-dessus approche la fonction max de la puissance de . Ainsi, les ensembles de contours supérieurs ne sont pas convexes. Maintenant, pour chaque vous pouvez trouver un suffisamment petit pour que la fonction ait des rendements d'échelle croissants ou décroissants. Les retours à l'échelle ne sont donc pas liés à la convexité des ensembles de contours supérieurs.

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

— HRSE

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

L'existence d'une solution au problème de maximisation des bénéfices dépend en outre de la structure du marché. Le problème de la maximisation du profit d'un monopoleur est généralement encore bien défini, alors que pour les entreprises qui prennent des prix, ce ne sera pas le cas.

— HRSE

$\rho \geq 1$

$r$ $w$

$w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^{2} - 1)^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

$\pi'' >0$

Pour voir le même effet dans un exemple plus simple ( non dérivé de CES), considérez ceci:

π (q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

SOC est . $\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

Remarquez mais pas, disons, comme d'habitude. Comparons ces deux cas pour sur le graphique pour apprécier la différence. $q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

— garej
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