Applications / généralisations d'un théorème de Debreu

Je voudrais savoir comment le dernier théorème de l'article de Debreu "Agents économiques voisins" (La Décision 171 (1969): 85-90; réimprimé dans G. Debreu, Mathematical Economics: Twenty Papers of Gerard Debreu (1986), pp. 173 -178) a été utilisé:

Théorème. Pour un espace topologique et un espace métrique , soit un mappage à valeurs d'ensemble de à qui est compact (c'est-à-dire que est compact pour chaque ) et continu . De plus, pour chaque soit un total de précommande sur \ varphi (e) tel que l'ensemble \ {(e, x, y) \ in M ​​\ times H \ times H: x \ lesssim_e y \} est fermé. Ensuite, le mappage à valeurs définies \ varphi ^ 0 de M à H où$M$$H$$\varphi$$M$$H$$\varphi(e)$$e \in M$$e \in M$$\lesssim_e$$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

est à valeur compacte et supérieure semi-continue .

Notez que le théorème ressemble au théorème de Berge Maximum bien connu. Avant l'énoncé du théorème, Debreu écrit que des cas particuliers de celui-ci "ont été utilisés à plusieurs reprises dans la théorie de l'équilibre économique et dans la théorie des jeux", mais ne donne aucune référence; dans le journal lui-même, il est utilisé pour prouver l'hémi-continuité supérieure de la correspondance de la demande pour un agent dans une économie de change.

Je suis particulièrement intéressé à savoir s'il y a eu des utilisations ou des généralisations récentes de ce théorème, par exemple à des mappages qui ne sont pas compacts.

Questions: Quels sont quelques bons exemples et / ou références pour les applications du théorème ci-dessus? A-t-il été généralisé aux mappages qui ne sont pas compacts?

Ce résultat est en effet une version du théorème maximum de Berge. S'il existe une fonction continue telle que si et seulement si , on peut dériver directement le résultat du théorème maximum de Berge. Si est localement compact, comme c'est le cas si , alors une telle fonction peut toujours être trouvée, cela découle du Théorème 1 dans On the Continuous Représentation of Preorders de Mas-Colell (au moins si est métriable, je ne suis pas sûr sur ce point). Plus d'informations sur ces "fonctions d'utilité conjointes continues" peuvent être trouvées dans le chapitre 8 de Représentations des ordres de préférence$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$, 1995, par Bridges & Mehta.

Maintenant, Debreu n'avait pas un tel résultat disponible, alors il a travaillé avec des relations de préférence et a essentiellement réprouvé le théorème maximum de Berge (la généralisation est mathématiquement simple). Pourquoi l'a-t-il fait? Pour comprendre cela, il faut comprendre le point de l'article de Debreu, qui trouve une topologie sur les relations de préférence qui a de bonnes propriétés et rend le comportement économique continu. La nécessité d'un tel résultat vient de la littérature sur les économies à continuum d'agents.

Qu'est-ce que cela signifie qu'un continuum d'économie d'agents est la limite d'une séquence d'économies finies? Une réponse est que la distribution sur les caractéristiques des agents converge vers la distribution des caractéristiques dans l'économie continue, donc la notion de convergence est la convergence dans la distribution. Pour rendre cette idée opérationnelle, il faut topologiser les caractéristiques des agents. Désormais, un agent se caractérise par sa dotation et ses préférences (et dans les modèles plus généraux par son ensemble de consommation). Il existe une topologie naturelle des dotations, la topologie euclidienne, mais il est moins simple de topologiser les préférences, et c'est ce que Debreu a fait dans son article. Une exposition de cette approche distributionnelle peut être trouvée dans Hildenbrand 1974, Core and equilibria of a large economy .

Maintenant, il y a des cas où l'on voudrait appliquer le théorème de Berge pour des ensembles de choix non compacts. Cela peut être important lors de l'étude d'économies avec des espaces de marchandises de dimension infinie, dans lesquels le fait d'être fermé et borné n'implique pas la compacité. Une façon de résoudre ce problème consiste à trouver un ensemble compact de sorte que la correspondance soit de valeur compacte et de valeur non vide lorsqu'elle est limitée à cet ensemble. Il existe une grande littérature très technique sur les "jeux généralisés" ou les "économies abstraites" (essentiellement des jeux de forme normale dans lesquels les espaces de stratégie dépendent des actions des autres), et ils contiennent implicitement souvent des généralisations non compactes du théorème de Berge. Si vous pouvez mettre la main sur le livre, consultez le chapitre 4 de Xian-Zhi Yuan 1999, KKM Theory and Applications in Nonlinear Analysis. Mon impression, cependant, est que ces résultats se sont révélés peu utiles dans les applications économiques. Pour prouver l'existence d'équilibres walrasiens dans des modèles avec des espaces de marchandise de dimension infinie, on utilise généralement différentes méthodes.