Comment puis-je obtenir la fonction de production de Leontief et Cobb-Douglas à partir de la fonction CES?

Dans la plupart des manuels de microéconomie, il est mentionné que la fonction de production à élasticité constante de substitution (CES),

$$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$$

(où l'élasticité de substitution est $\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$), a pour limites à la fois la fonction de production de Leontief et celle de Cobb-Douglas. Plus précisément,

$$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$$

et

$$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$$

Mais ils ne fournissent jamais la preuve mathématique de ces résultats.

Quelqu'un peut-il fournir ces preuves?

De plus, la fonction CES ci-dessus incorpore des rendements d'échelle constants (homogénéité de degré un), car l'exposant extérieur étant . Si c'était le cas, disons , alors le degré d'homogénéité serait . $-1/\rho$$-k/\rho$$k$

Comment les résultats limites sont-ils affectés si ?$k\neq 1$

Les preuves que je présenterai sont basées sur des techniques pertinentes au fait que la fonction de production CES a la forme d'une moyenne pondérée généralisée .
Cela a été utilisé dans le document original où la fonction CES a été introduite, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS et Solow, RM (1961). Substitution capital-travail et efficacité économique. The Review of Economics and Statistics, 225-250.
Les auteurs y ont référé leurs lecteurs au livre Hardy, GH, Littlewood, JE et Pólya, G. (1952). Inégalités , chapitre .$2$

Nous considérons le cas général

$$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$$

$$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$$

1) Limiter quand$\rho \rightarrow \infty$
Puisque nous sommes intéressés par la limite quand nous pouvons ignorer l'intervalle pour lequel , et traiter comme strictement positif.$\rho\rightarrow \infty$$\rho \leq0$$\rho$

Sans perte de généralité, supposons . Nous avons également . Ensuite, nous vérifions que l'inégalité suivante s'applique:$K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$$K, L >0$

$$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$$

$$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$$

en augmentant la puissance pour obtenir$\rho/k$

(1

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ qui tient en effet, évidemment, compte tenu des hypothèses. Revenez ensuite au premier élément de et$(1)$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$$

qui prend en sandwich le moyen terme dans à , donc$(1)$$(1/L^{k})$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$$

Donc, pour nous obtenons la fonction de production de Leontief de base.$k=1$

2) Limite lorsque$\rho \rightarrow 0$
Écrivez la fonction en utilisant exponentielle comme

$$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$$

Considérons l'expansion de Maclaurin de premier ordre (expansion de Taylor centrée sur zéro) du terme à l'intérieur du logarithme, par rapport à :$\rho$

$$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$$

$$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$$

Insérez-le dans et débarrassez-vous de l'exponentielle externe,$(4)$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$$

S'il est opaque, définissez et réécrivez$r\equiv 1/\rho$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$$

Maintenant, cela ressemble à une expression dont la limite à l'infini nous donnera quelque chose d'exponentiel:

$$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$$

$$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$$

Le degré d'homogénéité de la fonction est conservé et si on obtient la fonction Cobb-Douglas.$k$$k=1$

Ce fut ce dernier résultat qui a fait Arrow et Co appeler paramètre « distribution » de la fonction CES.$a$

La méthode habituelle pour obtenir Cobb-Douglas et Leotief est la règle de L'Hôpital .

Une autre méthode devrait également être utilisée. Le réglage sera retourné et Par La dérivée totale via les différentiels nous aurons Avec quelques manipulations notre équation principale sera obtenue.$\gamma=1$$Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

$$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$$ $$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$$

$$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$$

Fonction linéaire :$\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Fonction Cobb-Douglas : Prendre l'intégrale des deux côtés produirait

$$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$$

$$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$$

$$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$$

Fonction Leontief :$\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$