Equations fondamentales en économie

Pour les autres sciences, il est facile de mettre en évidence les équations les plus importantes qui fondent la discipline. Si je veux expliquer les sciences économiques à un physicien, quelles sont considérées comme les équations les plus importantes qui sous-tendent le sujet que je devrais introduire et tenter d’expliquer?

Au lieu de proposer des équations spécifiques, je citerai deux concepts qui conduisent à des équations spécifiques pour des configurations théoriques spécifiques:

A) Equilibre
Le concept le plus fondamental et le plus mal compris en économie. Les gens regardent autour de eux et voient un mouvement constant - à quel point un concept peut-il être moins pertinent qu'un "équilibre"? La tâche ici est donc de montrer que les sciences économiques modélisent l’observation selon laquelle les choses tendent la plupart du temps à «s’installer» - alors, en caractérisant ce «point fixe», cela nous donne une ancre pour comprendre les mouvements extérieurs et autour de cet équilibre (qui peut être en train de changer de cours).

Il n’est pas vrai que "la quantité fournie est égale à la quantité demandée " (voici une équation fondamentale)

mais il est vrai que l'offre tend à égaler la demande (de n'importe quoi ) pour des raisons que tout économiste devrait pouvoir présenter de manière convaincante à toute personne intéressée par l'écoute (et au fond elles ont toutes à voir avec des ressources limitées).

De plus, en déterminant les conditions d'équilibre, nous pouvons comprendre, lorsque nous observons une divergence, quelles conditions ont été violées.

B) Optimisation marginale sous contraintes
Dans un environnement statique , cela conduit à l'équation des quantités marginales / premières dérivées de fonctions.
Marché des biens: le revenu marginal est égal au coût marginal .
Marché des intrants: le produit de revenu marginal est égal à la récompense marginale (loyer, salaire).
Etc. (J'ai laissé exprès la "maximisation de l'utilité" de la photo, car ici, il faudrait d'abord présenter en quoi consiste cet "indice de l'utilité" et combien nous sommes fous ( non ) en essayant de modéliser l'homme " plaisir "à travers le concept d'utilité).

Peut-être pourriez-vous couvrir le tout sous le thème "avantage marginal égal coût marginal", comme le suggéraient d'autres questions:

Les économistes vivent dans une optimisation marginale et la plupart considèrent que cela va de soi. Mais si vous essayez de l'expliquer à un tiers, il existe une probabilité respectable qu'il ne s'objecte pas ou ne reste pas convaincu, proposant plutôt une "optimisation moyenne" comme "plus réaliste", puisque "les gens ne calculent pas les dérivés" (nous ne le faisons pas). soutiennent qu'ils le font, mais seulement que leurs processus de pensée peuvent être modélisés comme s'ils l' étaient). Il faut donc clarifier son histoire sur l'optimisation marginale, avec des exemples convaincants et une discussion sur "pourquoi ne pas l'optimisation moyenne".

Dans un contexte intertemporel , cela conduit à un compromis entre "le présent et le futur", toujours "à la marge", à commencer par "l'équation d'Euler de la consommation" , qui se lit dans sa version déterministe discrète

... et on ne peut éviter le thème de l'utilité, après tout: est une utilité marginale de la consommation, est un taux d'actualisation et est le taux d'intérêt0 < β < 1 r t + $u'()$$0<\beta<1$$r_{t+1}$

( Ne consultez pas l' article de Wikipédia sur l'équation d'Euler dans la consommation, son concept est beaucoup plus généralement applicable et fondamental que l'application spécifique abordée dans l'article de Wikipédia).

Fait intéressant, bien que les économies dynamiques soient plus exigeantes sur le plan technique, je trouve cela plus attrayant de manière intuitive, car les gens semblent mieux comprendre que "ce que vous économisez aujourd'hui déterminera ce que vous consommerez demain", plutôt que "votre taux de salaire sera le produit marginal de tous les revenus." main-d’œuvre employée ".

Comme cela a déjà été dit, l’équation fondamentale de MOST est sûrement:

EDIT: Cette équation est fondamentale en termes de pensée des économistes. Comme indiqué dans les commentaires ci-dessous, en termes d'équations fondamentales des modèles économiques, les équations les plus fondamentales décrivent les équivalences entre les utilisations et les fournitures d'articles (argent, biens, etc.). Ceux-ci fournissent la tension du côté coût marginal de cette équation.

J'ajouterais des équations liées à la statique comparative:

• Théorème d'enveloppe $$V^\prime(y)=f_y(x,y)$$
• Analyse "Delta" , telle que décrite dans les Fondements de l'analyse économique de Samuelson: (ceci examine les réponses des producteurs prenant des prix en termes de vecteurs de production et d'utilisation d'intrants , à leurs prix et , ont essentiellement révélé une préférence pour les producteurs) $$\Delta p\Delta y-\Delta w\Delta x\geq0$$ $y$$x$$p$$w$
• Préférence révélée

Si nous pouvons affirmer des théoriciens du jeu ou des mathématiciens dont nous utilisons constamment les équations:

• Les conditions de Karush-Kuhn-Tucker , en particulier le jeu complémentaire. Il n'y a pas d'équation unique pour la programmation linéaire, mais je pense qu'econ a aussi une revendication sur Kantorovich. \ Stationarity: Faisabilité première: Double faisabilité: complémentaire: $$\nabla f(x^*) = \sum_{i=1}^m \mu_i \nabla g_i(x^*) + \sum_{j=1}^l \lambda_j \nabla h_j(x^*)$$ $$g_i(x^*) \le 0, \mbox{ for all } i = 1, \ldots, m$$ $$h_j(x^*) = 0, \mbox{ for all } j = 1, \ldots, l \,\!$$ μ i g i ( x ∗ ) = 0 , $$\mu_i \ge 0, \mbox{ for all } i = 1, \ldots, m$$ $$\mu_i g_i (x^*) = 0, \mbox{for all}\; i = 1,\ldots,m.$$
• Équilibre de Nash $$\theta_{i}^\star = \arg \max_{\theta_i} u_i(\theta_i ,\theta_{-i}^\star)$$
• Principe de la révélation : être juste n'est pas tant une équation qu'un théorème ...
• Équation de Bellman $$V(x)=\max_{c\in\Omega(x)} U(x,z)+\beta\left[V(x^\prime)\right]$$

La majeure partie de l'introécon est une intersection de lignes. Plus précisément,

L'économie concerne la logique du comportement humain, la manière dont nous prenons des décisions dans un monde caractérisé par la rareté. Ces équations décrivent une optimisation contrainte sous certaines hypothèses habituelles telles que la continuité, les préférences convexes et les solutions sans angle. Je mettrais également en avant la théorie du consommateur par rapport au producteur. La plupart des théories des producteurs de premier cycle peuvent être comprises avec les mêmes outils que ceux utilisés dans la théorie des consommateurs.

Je pense que l’une des équations les plus importantes (du moins dans la macroéconomie) est la suivante:

Cette équation a été utilisée pour dériver de nombreux résultats fondamentaux. Cette équation a motivé le lien Hansen – Jagannathan . C'est également fondamental pour la tarification des actifs.

Aussi, quelque chose d’intéressant que j’ai vu de Tom Sargent. Si vous utilisez le facteur de réduction stochastique pour un modèle standard dépend du morceau de L'équation que vous permettez d'être exogène vous permet d'obtenir des résultats fondamentaux de macro:$m = \beta E_t \left[ \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \right]$

• Hypothèse de revenu permanent: Soit on obtient alors$\beta R = 1$$c_t = E [c_{t+1}]$
• Lucas Asset Pricing Model: Laissez le processus de consommation devenir une donnée. Le prix d'un actif peut alors être décrit par$R_t^{-1} = p_t = E \left[ \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \right]$

J'ai déjà entendu Roger Myerson expliquer pourquoi, selon lui, les sciences économiques avaient si bien réussi à appliquer (ou si facilement incorporé) les mathématiques. Il a suggéré que cela était peut-être dû à certaines des linéarités fondamentales dans le monde. Deux exemples sont les contraintes de balance des flux de marchandises rares (contraintes de marchandises) et les conditions de non-arbitrage. Ce sont des contraintes fondamentalement linéaires.

• Il est important de souligner l’importance de ces éléments, car nous pouvons obtenir un montant surprenant des deux. Par exemple, beaucoup de gens pensent que la loi de la demande est une conséquence de la rationalité supposée (en particulier des préférences qui présentent un taux de substitution marginal décroissant). Un résultat dû à Gary Becker montre que la loi de la demande (bien qu’une version légèrement plus faible) puisse être déduite de la seule contrainte budgétaire . (Voir Becker 1962, " Comportement irrationnel et théorie économique ".) Autrement dit, ce résultat économique fondamental peut être dérivé de la réalité des ressources rares - sans supposer de rationalité.

• La condition de non-arbitrage est une application du théorème de la dualité linéaire ( lemme de Farkas ). On peut faire beaucoup d’économie et de finance (tarification des actifs) en supposant que, dans l’équilibre économique, il n’ya pas d’arbitrage.

Notes supplémentaires:

Gary Becker a beaucoup progressé sur le terrain en étudiant l'impact des contraintes sur le comportement humain. Une citation célèbre, extraite de son discours du prix Nobel, dit que "différentes contraintes sont décisives pour différentes situations, mais la contrainte la plus fondamentale est le temps limité". (Quelques discussions ici .) Quelques ressources supplémentaires sur la manière dont son travail à cet égard peut être trouvé ici et ici .

La dualité linéaire peut être utilisée pour décrire la condition d'absence d'arbitrage. Plus généralement, ce théorème est généralement démontré avec le théorème de séparation des hyperplans , un outil mathématique qui apparaît souvent dans les manuels d'économie.

Aussi, gardez à l'esprit qu'il suffit de supposer qu'en équilibre économique, il n'y a pratiquement pas d'arbitrage.

Bien que je convienne avec Jyotirmoy Bhattacharya que les idées les plus intéressantes en économie ne sont pas toujours mieux exprimées à l'aide d'équations, je souhaite tout de même mentionner la loi de Slutsky ou loi compensée de la demande de la théorie de la consommation

où sont deux vecteurs de prix quelconques, est un niveau de revenu quelconque, et est la fonction de demande.$p',p \in \mathbb{R}_{++}^n$$w \in \mathbb{R}_+$$x(\cdot,\cdot) \in \mathbb{R}^n$

La relation sous-jacente est à quelques ordres de certitude des équations fondamentales dans d’autres domaines. En outre, cela ne fonde pas la discipline, dans le sens où elle n’est pas utilisée très souvent.

Cependant, j'ai tendance à le considérer comme fondamental parce que

• C’est une conséquence absolument non triviale de trois hypothèses simples et fondamentales dans la théorie du consommateur, à savoir:
  • Que la fonction de demande est homogène de degré zéro (pas d'illusion monétaire)$x(\cdot,\cdot)$
  • Loi de Walras (les gens ne brûlent pas d'argent)
  • Le faible axiome des préférences révélées (si vous choisissez A lorsque B est disponible «aujourd'hui», vous ne choisirez pas B «demain» si A reste disponible)
• Par conséquent, tester l'inégalité revient à tester conjointement ces trois hypothèses.
• Les trois hypothèses sont utilisées dans la grande majorité (peut-être plus de 90%?) Des modèles incluant les consommateurs dans la théorie économique.
• Leur validité (au moins sous forme d'approximations) est donc cruciale pour la validité de la plupart des modèles en théorie économique (au moins sous forme d'approximations).
• Même s’il n’est pas toujours évident de relier les notions de prix, de biens et de revenu aux observables, tous les éléments de l’équation sont observables en principe (contrairement aux niveaux d’utilité, par exemple) et la validité de l’inégalité peut donc être testée empiriquement. .

Je ne pense pas qu'il y ait des équations économiques ayant le même statut que, disons, les équations de Maxwell en physique. À sa place, nous avons des concepts tels que le principe équimarginal, l’équilibre concurrentiel ou l’équilibre de Nash qui sont au cœur de «l’approche de l’économiste». Mais je pense que la véritable valeur de l'économie ne réside même pas dans ces idées, mais dans ce que nous savons des problèmes concrets dans des domaines d'applications spécifiques: par exemple, ce que nous savons des cycles conjoncturels en macro. Dans cette économie peut ressembler davantage à la médecine qu'à la physique.

Pour moi, l’un des plus importants est la contrainte budgétaire. Cela peut sembler trop évident mais beaucoup de profanes (bien que peut-être pas physiciens) ne l'obtiennent pas!

$p⋅x \leq w$

Un peu tard dans le jeu, mais je suis surpris que personne ne l’ait nommée pour calculer les estimations de MCO:

Bien que pas aussi fondamentale que, par exemple, l’équation de Slutsky, la condition de l’indice de Lerner selon laquelle une entreprise maximisant les bénéfices avec un prix , un coût et une élasticité-prix de la demande a est une équation importante dans l’organisation industrielle.$p$$c$$\eta$

Il s’agit non seulement d’une formulation élégante de la solution du problème de l’entreprise, mais aussi d’une utilité pratique:

• Une entreprise qui évalue ses et connaît son peut utiliser cette formule pour calculer le prix permettant de maximiser les bénéfices.$\eta$$c$
• Un régulateur qui observe un et estime peut utiliser la formule pour calculer dans de nombreuses formes de régulation.$p$$\eta$$c$

C'est déjà écrit mais l'équation d'Euler en temps continu cède

où est l'élasticité de substitution intertemporelle, taux d'intérêt et le taux d'actualisation (niveau d'impatience).$\sigma$$r$$\rho$

La base de l'économie intertemporelle est l' équation de la valeur actuelle nette . C'est-à-dire que la valeur actuelle nette d'un flux de revenus futurs est le revenu annuel divisé par un facteur d'actualisation approprié, basé sur le taux d'intérêt en vigueur, r, porté à la nième puissance, où n est le nombre d'années.

Pour la microéconomie, il y en a plusieurs, mais ils suivent tous le même schéma.

Je tenterai ici d'enseigner tout un cours intermédiaire de microéconomie dans un poste.

La plupart des problèmes de microéconomie suivent ce format:

Tout en laissant de côté quelques détails mineurs, si vous faites suffisamment de microéconomie, les problèmes finissent par paraître identiques après un certain temps. C'est ce que j'ai à partager.

Fonctions de production / utilitaires

Il existe trois principaux types de fonctions utilitaires / de production auxquelles vous serez exposé dans un cours intermédiaire de microéconomie ¹ . Elles sont:

1. Cobb Douglas
   $$f(x_1,x_2)=x_1^ax_2^b$$
2. Leontif / Complément Parfait
   $$f(x_1,x_2)=\min\{x_1,x_2\}$$
3. Substituts parfaits $$f(x_1,x_2)=x_1+x_2$$

Lignes budgétaires et fonctions de coût

Dans la théorie de la consommation, vous avez une ligne budgétaire représentée par la formule:

Dans la théorie du producteur, nous appelons cela une fonction de coût.

Nous souhaitons soit maximiser la consommation en fonction d'une fonction budget / coût, soit minimiser les coûts en maintenant votre niveau de service / sortie constant. Pour ce faire, nous utilisons une autre équation:

Le multiplicateur lagrangien:

Bien qu’il ne soit pas exclusif à l’outil économique proprement dit, c’est l’outil principal de tous les étudiants en microéconomie intermédiaire.

où est une fonction de ligne / coût budgétaire ou une fonction utilitaire / production lorsqu'il est égal à zéro.$H-g(x_1,x_2)$

Nous l'utilisons pour calculer les consommations / intrants de consommation maximisant utilité / profit ou Réduire les coûts en maintenant le bénéfice / utilité constante.

Et c'est un wrap! *

_{* Bien qu’il y ait quelque chose à dire sur les demandes marshalliennes et hicksiennes, je laisserai cela à d’autres à remplir.}