Existe-t-il un moyen de lier le théorème de Berge du maximum au théorème de l'enveloppe?

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Le théorème de Berge déclare

Soit , une fonction conjointe continue, un continu (les deux correspondance compacte supérieure et inférieure hémicontinue. La fonction de valeur maximisée et le maximiseur sont Alors est continu et est hémicontinu supérieur. $X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$ $f : X \times \Theta \to \mathbb R$ $C : \Theta \rightrightarrows X$
$V (θ) := max_{x \in X} f (x, θ)$ $V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$ $C^{*} (θ) := {x \in C (θ) ∣ f (x, θ) = V (θ)}$ $C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$ $V : \Theta \to \mathbb R$ $C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

Selon l'analyse microéconomique de Varian (1992), page 490, le théorème de l'enveloppe est simplement:

$\frac{d M (a)}{d a} = \frac{\partial f (x, a)}{\partial a} ∣_{x = x (a)}$ $\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$

$x(a)$ est le maximiseur de $f(\cdot, a)$ .

Il me semble que le théorème de l'enveloppe implique le théorème de Berge, mais la dérivation semble beaucoup plus simple. Y a-t-il une relation entre les deux?

mathematical-economics academic-graduate optimization

— Épicure
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Il ne semble pas que les deux soient préoccupés par la même cible. Berge établit les propriétés de la fonction valeur et de l'ensemble des maximiseurs. L'enveloppe est soucieuse de montrer quel est l'effet de la variation d'un paramètre ... peut-être pourriez-vous élaborer sur le type de connexion entre les deux qui vous intrigue.

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Excusez-moi de l'imprécision de ma question. Maintenant, j'ai découvert que ce queston provenait de mon vague souvenir de la proposition 2 dans Lucas (1978). Maintenant, je peux le formuler plus précisément. Quelle sorte de conditions sur la fonction d'utilité et la contrainte nous permet d'appliquer le théorème de l'enveloppe seulement après avoir établi la continuité de la fonction de valeur par le théorème de Berge? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

— Epicure

Je ne pense pas qu'il faille nécessairement "établir la continuité de la fonction valeur" pour utiliser le théorème de l'enveloppe. Il pense que l'élément clé est le point sur le contrôle . Voir Théorème 2 sur la page Wikipedia. Là, la continuité de V en résulte. Dans tous les cas, la page Wikipédia énonce les théorèmes dans leur intégralité. Il vous dira ce que vous devez supposer pour utiliser le théorème. en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem

C^{*}

$C^*$

— jmbejara

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Ils sont liés et relèvent généralement de la même discussion, mais comme @Alecos le mentionne dans les commentaires, les deux théorèmes montrent des choses différentes.

Je suppose que la connexion que vous recherchez est le fait que si le dérivé existe, puis parce que la différentiabilité implique la continuité, vous pourriez en tirer une partie du théorème du maximum. Cependant, pour comparer et contraster deux théorèmes, vous ne devez pas simplement regarder les résultats. Vous devez également examiner les hypothèses. Par exemple, le théorème du maximum ne suppose aucune sorte de différentiabilité. Le théorème de l'enveloppe le fait (au moins certaines formes de celui-ci). Dans tous les cas, les hypothèses qui entrent dans chacune sont différentes (certaines plus fortes, d'autres plus faibles).

{\frac{\partial f (x, a)}{\partial a} |}_{x = x (a)}

$\left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)}$

Il y a aussi ça. Le théorème de l'enveloppe ne vous dit rien de la fonction de contrôle. Par conséquent, vous ne pourrez certainement pas obtenir le résultat que est hémicontinu supérieur. $C^*$

— jmbejara
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Citant l'OP d'un commentaire

Quelle sorte de conditions sur la fonction d'utilité et la contrainte nous permet d'appliquer le théorème de l'enveloppe seulement après avoir établi la continuité de la fonction de valeur par le théorème de Berge? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

Dans le document référencé de Lucas (1978), la proposition 1 établit que

entrez la description de l'image ici

où est la fonction de valeur et est sa définition. Il semble donc que ce soit la continuité de la fonction Price qui soit choisie comme condition ici, mais plus tôt dans l'article, Lucas définit la fonction Utility comme une fonction non négative qui est $v(z,y;p)$ $(i)$

continuellement différenciable, borné, croissant et strictement concave

La proposition 2 de l'article établit la différentiabilité de la fonction valeur, sans nécessiter d'autres hypothèses.

— Alecos Papadopoulos
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