Concepts topologiques en théorie économique

QUESTION: Quelles sont les applications majeures ou systématiques des mathématiques de l'après-1960 à la microéconomie?

Par exemple, à la fin du 19e siècle, Fisher a utilisé les idées mathématiques de Gibbs pour construire la théorie de l'utilité moderne. Au 20e siècle, Mas-Colell a incorporé des idées topologiques pour étudier l'équilibre général. Qu'en est-il de la fin du 20e, du début du 21e siècle?

Par exemple, considérons la théorie des graphes dirigés, la théorie des mesures, la topologie, la théorie des catégories et l'homologie ou la cohomologie moderne, les méthodes topos, l'intégration fonctionnelle, etc.

Note 1 : l'économétrie / statistique, sans modélisation, est exclue. Les seules mathématiques modernes utilisées sont la théorie de la marche aléatoire et le problème ergodique, résolu par une analyse complexe. RW et EP ne sont pas spécifiques à l'économie.

Toute publication économique appropriée est une réponse. Cela comprenait également ceux publiés dans des revues non strictement économiques, par exemple le Journal of Mathematical Psychology .

Note 2 : Oui, je sais, ce type de travail est plus rare (à ne pas confondre avec l'obscurité: une partie est bien connue). C'est ce qui fait qu'il est facile de rater une telle référence lorsqu'elle est publiée. D'où la question.

Je soupçonne fortement qu'un domaine important émergent pour les applications de la théorie des mesures sera dans les techniques de programmation dynamique approximative. La programmation dynamique approximative (ou «apprentissage par renforcement» dans la littérature informatique) a été la direction des travaux de recherche au cours des 10 à 20 dernières années de la littérature sur la programmation dynamique. L'économie commence à peine à adopter certaines de ces avancées. Pour un exemple de la direction de la littérature DP, voir la plus récente extension de Bertsekas à la 4e édition de sa série de programmation dynamique, ou Powell's Approximate DP: Solving the Curse of Dimensionality. Les économistes commencent tout juste à acquérir certains de ces outils, à la fois directement et indirectement, et je soupçonne qu'ils auront un impact croissant sur la littérature au cours des prochaines années. Une partie du contexte analytique de la convergence de ces méthodes est la topologie et les systèmes dynamiques.

Un bon exemple de contribution théorique des économistes à ce type de littérature est Pál et Stachurski (2013), Fitted Value Function Iteration With Probability One Contractions (version non fermée ici ). Parcourez ce document et vous pouvez voir l'importance d'une bonne compréhension de la théorie de la mesure. Le livre de Stachurski Economic Dynamics est en fait une très belle exposition de programmation dynamique de ce point de vue, construisant à un rythme qui fonctionne pour plusieurs niveaux d'étudiant diplômé / professionnel (la théorie de la mesure arrive officiellement à la fin je crois - je travaille toujours vers ces idées).

J'espère que cela répond à votre question dans une certaine mesure. Je crains que l'expression "mathématiques post-1960" soit quelque peu ambiguë pour moi (en raison de mon propre manque de connaissance de l'histoire de la littérature mathématique), donc si j'ai complètement raté le cap, mes excuses!

C'était trop long pour commenter. "Post 1960" semble une barre arbitraire et très élevée pour un domaine appliqué, y compris la micro-théorie. La plupart des sujets que vous nommez ne seraient pas considérés comme des mathématiques contemporaines. Par exemple, la théorie de la mesure a commencé avec la thèse de Lebesgue et a plus d'un siècle. La topologie est encore plus ancienne et a commencé avec Poincaré, qui a introduit les groupes d'homologie. Les deux sont enseignés aux étudiants de premier cycle aujourd'hui, comme le calcul. (Les mathématiques utilisées par Mas-Colell et al. Dans GE sont l'analyse, plutôt que la topologie.)

L'externalité des programmes de recherche qui dirigent les mathématiques modernes depuis le milieu du 20e siècle vers la communauté appliquée est au mieux indirecte. Le point de vue et les techniques motivées, par exemple, par la géométrie non commutative, le programme de Langland, la conjecture de Poincaré, la conjecture de Baum-Connes, la conjecture jumelle principale (les médailles Fields ont été décernées après 1960 pour les progrès réalisés sur ces problèmes), etc. --- ne sera probablement jamais vu en dehors des mathématiques. La finance mathématique, bien sûr, reste mathématique mais c'est assez éloigné du point de vue économique.

Modifier Il s'avère que, en répondant directement à votre question, il y a eu des applications de la topologie à la théorie du choix social, initiées par Chichilnisky, et. Al. Voici un article du JET sur le sujet rédigé par un topologue:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

Peut-être que quelqu'un ayant une expertise en topologie peut commenter davantage.

Les espaces de Loeb ont été utilisés pour modéliser des situations avec un continuum d'agents. Voir http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdf et les chapitres de Sun sur les applications économiques dans le livre Nonstandard Analysis for the Working Mathematician .

La théorie de la mesure est largement utilisée dans le problème de la division équitable (alias "coupe de gâteau"). Voir les nombreux articles sur l'équité dans les revues économiques .

Pour un exemple particulier, voir Tatsuro Ichiishi et Adam Idzik, «Equitable allocation of divisible goods», JME 1999 .

Outre les travaux de Chichilnisky mentionnés par Michael, une autre utilisation intéressante de la topologie dans la théorie du choix social apparaît dans les travaux de Redekop sur le théorème d'Arrow sur les domaines économiques.

• Redekop, J. (1991). La protection sociale fonctionne dans des domaines économiques restreints. Journal of Economic Theory, 53, 396–427.
• Redekop, J. (1993a). Domaines économiques non cohérents avec les flèches. Choix et bien-être social, 10, 107-126.
• Redekop, J. (1993b). La topologie du questionnaire sur certains espaces de préférences économiques. Journal of Mathematical Economics, 22, 479–494.
• Redekop, J. (1993c). Fonctions de bien-être social dans les domaines paramétriques. Choix et bien-être social, 10, 127–148.
• Redekop, J. (1995). Théorèmes des flèches dans les environnements économiques. Dans WA Barnett, H. Moulin, M. Salles et NJ Schofield (éd.), Choix social, bien-être et éthique (pp. 163–185). Cambridge: Cambridge University Press.
• Redekop, J. (1996). Théorèmes des flèches dans les biens mixtes, les environnements économiques stochastiques et dynamiques. Choix social et bien-être social, 13, 95-112.

Le théorème d'impossibilité d'Arrow a été initialement prouvé pour un ensemble abstrait d'alternatives, permettant tous les profils de préférence possibles par rapport à cet ensemble d'alternatives. La question que Redekop (et d'autres) a posée était: existe-t-il un équivalent du théorème d'Arrow lorsque les alternatives sont des paquets de marchandises, et l'agent a des préférences "classiques" sur ces marchandises (monotones, convexes, continues, égoïstes, ...).

Plus précisément, la question était de savoir s'il existerait une fonction de protection sociale satisfaisant les trois axiomes arroviens (indépendance de l'alternative non pertinente, pareto faible et non-dictature) dans ces domaines économiques (voir Le Breton, Michel et John A. Weymark. " Chapter Seventeen-Arrovian Social Choice Theory on Economic Domains. "Handbook of social choice and wellness 2 (2011): 191-299 pour une excellente revue, sur laquelle cette réponse est basée).

En gros, les travaux de Redekop montrent que, pour certains de ces problèmes économiques, si un domaine de préférences admet une fonction de bien-être social arrovien, le domaine doit être "petit" dans un certain sens topologique. Par exemple, dans Redekop (1991), il introduit une topologie ingénieuse sur des ensembles de préférences qu'il a surnommée la topologie du questionnaire et montre que, dans une économie de biens publics, si un domaine de préférences admet une fonction de bien-être social arrovienne, alors le domaine doit être nulle part dense selon cette topologie (ie la fermeture du domaine ne contient aucun ensemble ouvert).