Optimum de consommation dans une économie avec un continuum de matières premières

Considérons une économie avec un continuum de produits, avec un produit pour chaque point dans . $[0,1]$

Supposons qu'un consommateur veuille maximiser sous réserve de où est le montant du -ième produit consommé, son prix et le revenu monétaire du consommateur.

U = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i 0 < θ < 1

$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = M

$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$

c_{i}

$c_i$

i

$i$

p_{i}

$p_i$

M

$M$

Ce type de problème se pose par exemple lors de l'application du modèle Dixit-Stiglitz à la macroéconomie ou au commerce international.

La solution à ce problème est censée être où est une constante choisie pour garantir que la contrainte budgétaire est satisfaite.

c_{i} = A p_{i}^{\frac{1}{θ - 1}}

$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$

A

$A$

Je ne suis pas très satisfait des dérivations de ce résultat qui utilisent des multiplicateurs de Lagrange par analogie avec le cas d'un nombre fini de marchandises. Quelle serait une méthode mathématiquement rigoureuse pour dériver le résultat ci-dessus?

Il semble clair qu'il n'y a pas de solution unique car changer arbitrairement les valeurs de pour un nombre fini de valeurs de laissera les intégrales dans la fonction d'utilité et la contrainte budgétaire inchangées. Je m'attends à ce qu'une dérivation complètement rigoureuse indique également correctement ce degré de non-unicité. $c_i$ $i$

EDIT: En réponse aux commentaires de @BKay, @Ubiquitous. Mon problème avec le démarrage d'économies avec produits et en prenant la limite comme est que cela doit être accompagné d'un argument qui montre que la limite d'optima est un optimum du problème de limite. J'apprécierais une référence à un résultat qui le montre soit pour ce problème particulier, soit un résultat général qui s'applique à ce problème. $n$ $n \to \infty$

En réponse à @AlecosPapadopoulos. Les preuves de la méthode du multiplicateur de Langrange enseignée en mathématiques pour les cours d'économie concernent généralement un nombre fini de variables de choix. J'apprécierais une référence à l'endroit où la méthode est justifiée pour un continuum de variables de choix. En outre, le caractère unique que je mentionne ci-dessus montre que la méthode ne peut pas être exactement la bonne. Alors quelles sont exactement les qualifications requises pour sa validité?

microeconomics mathematical-economics

— Jyotirmoy Bhattacharya
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Je suis d'accord avec OP, beaucoup de choses peuvent potentiellement mal tourner lorsque l'espace devient de dimension infinie. Pour moi, il n'est pas du tout clair que la limite de l'optimum est l'optimum de la limite.

— FooBar

Réponses:

La chose complètement rigoureuse serait d'écrire l'équation de lagrange d'Euler de ce problème de calcul des variations, cela vous donnera une solution forte qui est ce que vous avez ou une solution faible qui est écrite par rapport à une distribution.

— user157623
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Mais comment intégrer ma contrainte budgétaire dans une formule de calcul de variations?

— Jyotirmoy Bhattacharya

Vérifiez ce lien, math.stackexchange.com/questions/279518/… , une fonction de multiplicateur de lagrange !, c'est ce dont vous avez besoin, cela vous donne une solution solide qui peut être interprétée de façon ponctuelle, même si elle doit être presque sûre avec la mesure dominante

— user157623

Merci. Après avoir fait allusion à l'utilisation du calcul des variations, j'ai trouvé un théorème 1 dans la section 12 de Kolomogorov et le calcul des variations de Fomin semble gérer les contraintes exprimées en intégrales. Donc, dans un sens, on peut utiliser des multiplicateurs de Langrange après tout.

— Jyotirmoy Bhattacharya

C'est utile, mais en tant que commentaire, pas en tant que réponse.

— Alecos Papadopoulos

Vous avez raison Jyotirmoy Bhattacharya, peut-être que quelqu'un peut le modifier pour être une réponse complète avec les liens qui ont été fournis dans les commentaires.

— user157623

Comme l'OP l'a noté dans un commentaire, le théorème 1 de la section 12 du calcul des variations de Kolomogorov et Fomin semble fournir un certain confort que nous pouvons en effet utiliser la méthode du multiplicateur de Langrange lorsque le nombre de nos variables est infini. Pourtant, les auteurs le font dans une note de bas de page, écrivant «le lecteur reconnaîtra facilement l'analogie avec les multiplicateurs de Langrange». Donc non, cela ne montre pas rigoureusement ce que nous voulons.

Je pense que nous avons besoin d'un article comme Craven, BD (1970). Une généralisation des multiplicateurs de Lagrange. Bulletin de l'Australian Mathematical Society, 3 (03), 353-362. qui dans son résumé écrit:

La méthode des multiplicateurs de Lagrange pour résoudre un problème de valeur stationnaire contraint est généralisée pour permettre aux fonctions de prendre des valeurs dans des espaces de Banach arbitraires (sur le champ réel). On montre que l'ensemble des multiplicateurs de Lagrange dans un problème de dimension finie est remplacé par une cartographie linéaire continue entre les espaces de Banach pertinents.

C'est mathématique, mais cela dit ce que nous voulions entendre (on peut également trouver une courte exposition dans wikipedia dans la mesure où il fait confiance au contenu).

Ensuite, nous pouvons former le lagrangien du problème

Λ = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i + λ (M - \int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i)

$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$

et calculer la (les) condition (s) du premier ordre en parlant de manière informelle "en regardant l'intégrale et en voyant une somme",

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial Λ}{\partial c_{i}} = 0 \Rightarrow θ c_{i}^{θ - 1} = λ p_{i}, i \in [0, 1] \end{matrix}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$

... un continuum de conditions. Pour une utilisation ultérieure, nous définissons

σ \equiv 1 / (1 - θ), \Rightarrow 1 - θ = 1 / σ, θ = \frac{σ - 1}{σ}

$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$

On peut montrer que la constante est l'élasticité de substitution entre deux biens quelconques. $\sigma$

Écrivant pour le produit et égalisant par le multiplicateur de lagrange commun, nous arrivons à $(1)$ $j$

\begin{matrix} (2) & c_{i} = {(\frac{p_{i}}{p_{j}})}^{- σ} c_{j} \end{matrix}

$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$

$p_i$ $i$

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} p_{j}^{- σ} c_{j} d i

$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$

\Rightarrow M = p_{j}^{σ} c_{j} \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i

$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$

\begin{matrix} (3) & \Rightarrow c_{j} = p_{j}^{- σ} \cdot M \cdot {(\int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i)}^{- 1} \end{matrix}

$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$

$j$

— Alecos Papadopoulos
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Le résultat Kolmogorov-Fomin appliqué mécaniquement nous donne une solution. Il n'est donc pas nécessaire de faire appel à l'analogie avec les multiplicateurs de Lagrange. Je l'écris dans une réponse séparée.

— Jyotirmoy Bhattacharya

Ceci est juste une élaboration de la réponse donnée par @ user157623. Je le poste en tant que wiki communautaire pour plus de commodité.

Le théorème 1 de la section 12 du calcul des variations de Kolmogorov et Fomin dit

$J [y] = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x,$ $J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$ $y (a) = A, y (b) = b, K [y] = \int_{a}^{b} G (x, y, y^{'}) d x = l,$ $y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$ $K[y]$ $J[y]$ $y=y(x)$ $y=y(x)$ $K[y]$ $\lambda$ $y=y(x)$ $\int_{a}^{b} (F + λ G) d x,$ $\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$ $y=y(x)$ $F_{y} - \frac{d}{d x} F_{y^{'}} + λ (G_{y} - \frac{d}{d x} G_{y^{'}}) = 0.$ $F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$

$x$ $i$ $c$ $y$ $F(i,c,c')=c^\theta$ $G(i,c,c')=pc$

θ c_{i}^{θ - 1} + λ p_{i} = 0

$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$

$K[y]$ $y(a)$ $y(b)$ $c$ $c^*(i)$ $c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

Le seul hic est dans la nature du théorème lui-même. Il donne les conditions nécessaires à un optimum. Étant donné que dans notre cas, la condition nécessaire donne un résultat unique, tout ce dont nous avons besoin pour le rendre suffisant est de faire valoir que notre problème a une solution.

Les preuves dans Kolmogorov-Fomin supposent que les fonctions dont nous traitons ont des dérivées premières continues. Nous devons donc encore montrer que le problème du consommateur a un optimal dans cette classe de fonctions mais étant donné que le problème est résolu.

— Jyotirmoy Bhattacharya
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