Applications des fonctions de déclenchement en économie?

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Existe-t-il des applications des fonctions trigonométriques (c'est-à-dire , , ) en économie? $\sin(x)$ $\cos(x)$ $\tan(x)$

mathematical-economics

— EconJohn
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Pourquoi t'en préoccupes-tu?

— Michael Greinecker

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@MichaelGreinecker intérêt général.

— EconJohn

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Statistiques

— EconJohn

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La principale propriété des fonctions trigonométriques est leur cyclicité. On pourrait alors penser qu'elles pourraient être idéales dans l'analyse des séries chronologiques, pour modéliser les "fluctuations autour d'une tendance". Je crois que les raisons pour lesquelles ils ne sont pas réellement utilisés dans un tel cadre sont

1) Ce sont des fonctions déterministes , donc elles ne permettent pas que les fluctuations soient stochastiques

2) Si le chercheur veut créer un modèle qui produit des fluctuations de haut en bas (oscillations) autour d'une tendance, il voudrait obtenir cette propriété à partir des hypothèses comportementales et autres du modèle. S'il devait utiliser une fonction trigonométrique, il imposerait a priori au modèle le résultat théorique recherché.

Au lieu de cela, on opte pour des équations différentielles différentielles. Là, nous obtenons des oscillations (amorties ou non) si certaines racines caractéristiques sont complexes - et alors les fonctions trigonométriques apparaissent, mais comme une représentation alternative, pas comme des blocs de construction.

— Alecos Papadopoulos
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Je ne suis pas sûr d'être d'accord avec vous. Il y a un domaine appelé analyse spectrale dans les séries temporelles qui est principalement l'utilisation des fonctions trigonométriques, de la transformée de Fourier, etc. Vous apprenez que vous pouvez décomposer une série temporelle stationnaire en une somme de composantes sinusoïdales avec des coefficients aléatoires non corrélés.

— Un vieil homme dans la mer.

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@Anoldmaninthesea. Certainement et bien que vous l'ayez souligné (je suggérerais d'y répondre). Mais l'analyse spectrale est principalement utilisée à des fins de prévision athéorique, pas pour la modélisation économique structurelle.

— Alecos Papadopoulos

Alecos, malheureusement, je devrais l'étudier en détail pour fournir une bonne réponse. Peut-être pendant le week-end. : D

— Un vieil homme dans la mer.

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Juste pour dire que j'ai lu sur le sujet et cela implique une intégration stochastique (la décomposition en une série de composants sinusoïdaux), ce dont je n'ai aucune idée ... Le reste de la lecture indiquait simplement que l'analyse spectrale est équivalente à l'analyse habituelle du domaine temporel, mais sans entrer dans les détails. J'ajoute ce commentaire pour que vous sachiez que je n'ai pas oublié et essayé, mais je n'en sais tout simplement pas assez. ;)

— Un vieil homme dans la mer.

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@Anoldmaninthesea. Essayez le chapitre 2 de Granger et Newbold "Forecasting Economic Time Series" (2e éd.). Is est un vieux livre mais plein de sagesse, de réalisme et de pouvoir d'exposition (et pas seulement pour l'analyse spectrale).

— Alecos Papadopoulos

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Une application naturelle des fonctions trigonométriques réside dans l'analyse des données spatiales. Un exemple est le problème de Weber dans la théorie de l'emplacement - trouver le point qui minimise la somme des coûts de transport vers destinations. Il existe plusieurs façons de résoudre le problème, mais la solution de Tellier utilise la trigonométrie. $n$

— Adam Bailey
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Je connais des séries de Fourier utilisées en finance et en économétrie.

Méthodes de transformation de Fourier en finance

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Pr ({\tilde{r}}_{t}) = {[\frac{π}{2} + \tan^{- 1} (\frac{μ}{γ})]}^{- 1} \frac{γ}{γ^{2} + ({\tilde{r}}_{t} - μ)^{2}} .

$\Pr(\tilde{r}_t)=\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)\right]^{-1}\frac{\gamma}{\gamma^2+(\tilde{r}_t-\mu)^2}.$

Pour cela, voir: Harris, DE (2017) The Distribution of Returns. Journal of Mathematical Finance, 7, 769-804.

Pour les retours calculés comme la différence des journaux, les retours sont:

Pr (l o g (r_{t})) = \frac{1}{2 σ} sech (\frac{π ({\tilde{r}}_{t} - μ)}{2 σ})

$\Pr(log(r_t))=\frac{1}{2\sigma}\text{sech}\left(\frac{\pi(\tilde{r}_t-\mu)}{2\sigma}\right)$

— Dave Harris
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Pour un exemple concret de la façon dont les fonctions trig (et trig inverses) peuvent avoir des applications financières ou économiques, en voici une tirée de "Analysis of Financial Time Series" par Ruey S. Tsay. Considérons le modèle AR (2):

r_{t} = ϕ_{0} + ϕ_{1} r_{t - 1} + ϕ_{2} r_{t - 2} + a_{t}

$r_t = \phi_0 + \phi_1 r_{t-1} + \phi_2 r_{t-2} +a_t$

Sa fonction d'autocorrélation (ACF) satisfait l'équation de différence , où est l'opérateur de décalage arrière, c'est-à-dire et . (Certaines personnes préfèrent écrire pour l'opérateur de décalage à la place.) $\rho_\ell = \operatorname{Corr}(r_t, r_{t-\ell})$ $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) \rho _ \ell = 0$ $B$ $B \rho_\ell = \rho_{\ell-1}$ $B^2 \rho_\ell = \rho_{\ell-2}$ $L$

L'équation caractéristique du second ordre a des racines caractéristiques et données par: $1 - \phi_1 \omega - \phi_2 \omega^2 = 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

ω = \frac{ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{- 2 ϕ_{2}}

$\omega = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{-2\phi_2}$

Si les racines caractéristiques sont réelles, le comportement est un mélange de deux désintégrations exponentielles. Mais si à la place le discriminant , alors les racines caractéristiques et forment une paire complexe-conjuguée, et le tracé de l'ACF présentera des ondes sinusoïdales amorties. Pour citer Tsay: $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

Dans les applications commerciales et économiques, des racines caractéristiques complexes sont importantes. Ils donnent lieu au comportement des cycles économiques. Il est alors courant que les modèles de séries chronologiques économiques aient des racines caractéristiques à valeur complexe. Pour un modèle AR (2) ... avec une paire de racines de caractéristiques complexes, la longueur moyenne des cycles stochastiques est

$k = \frac{2 π}{\cos^{- 1} [ϕ_{1} / (2 \sqrt{- ϕ_{2}})]}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}[\phi_1 / (2\sqrt{-\phi_2})]}$
où l'inverse du cosinus est exprimé en radians. Si l'on écrit les solutions complexes comme , où , alors on a , , et $a \pm bi$ $i=\sqrt{-1}$ $\phi_1 = 2a$ $\phi_2 = -(a^2 + b^2)$

$k = \frac{2 π}{\cos^{- 1} (a / \sqrt{a^{2} + b^{2}})}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}(a / \sqrt{a^2+b^2})}$

Notez que cette seconde façon d'écrire a une façon beaucoup plus intuitive de penser géométriquement le cosinus inverse. $k$

— Silverfish
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J'ai cité Tsay in extenso: "Les racines caractéristiques complexes sont importantes. Elles donnent lieu au comportement des cycles économiques" car je pense que cette affirmation doit être traitée avec scepticisme - voir la réponse d'Alecos mais aussi par exemple les commentaires de Stephan Kolassa ici . Je me demande si le livre est trop simplifié pour son public (bien qu'il s'agisse d'un texte de niveau supérieur, l'accent est mis sur les praticiens). Cependant, si les longueurs des cycles ne sont pas stochastiques, la formule pour est vraie.

k

$k$

— Silverfish