Homogène de degré un dans la fonction d'utilité.

Question

Ma solution est la suivante. Veuillez vérifier ma solution. Si je fais une erreur, dites-le moi. Je ne suis vraiment pas sûr de ma solution. Je vous remercie

U (x) est homogène de degré un, c'est-à-dire que u (tx) = tu (x)

Premièrement, je montre que la fonction d'utilité indirecte est homogène de degré un en m.

Par la maximisation de l'utilité,

V (p, m) = max u (x) sous réserve de px m $\le$

tv (p, m) = max tu (x) sous réserve de px m $\le$

Puisque u (tx) = tu (x), tv (p, m) = max u (tx) soumis à px m $\le$

Alors v (p, tm) = tv (p, m)

C'est-à-dire que la fonction d'utilité indirecte est homogène de degré un.

Je montre que la fonction de dépense est homogène de degré un en u en utilisant le résultat précédent.

je le sais

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

Puisque u (x) est homogène de degré un et v (p, m) est homogène de degré un en m, v (p, e (p, u)) doit être homogène de degré un en e (p, u) .

En d'autres termes, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) est valable si e (p , tu (x)) = te (p, u (x))

c'est-à-dire que la fonction chère e (p, u) est homogène de degré un en u.

Je vais maintenant montrer que la demande marshallienne x (p, m) est homogène de degré un en m.

Par l'identité de Roy,

\frac{\partial v (p, m) / \partial p}{\partial v (p, m) / \partial m} = x (p, m)

$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$

Par le premier résultat, puisque v (p, m) est homogène de degré un en m, alors x (p, m) est homogène de degré un en m.

permet maintenant de montrer que la demande hicksienne est homogène de degré un en u.

je le sais

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, te (p, u))

Puisque e (p, u) est homogène de degré un par la deuxième partie,

x (p, te (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = th (p, u (x)) doit tenir puisque l'égalité (1) existe.

C'est-à-dire que la demande hicksienne est homogène de degré un en u.

— aucun009
source

u (t x) = t u (x) ⟹ t v (p, m) = max u (t x) s . t . p (t x) \leq t m = v (p, t m)

$u(tx)=tu(x)\implies tv(p,m)=\max u(tx) \;\;s.t.\;\; p(tx)≤ tm = v(p,tm)$

$v(p,m)$ $m$ $e(p,u)$ $u$

v (p, e (p, u)) = u,

$v(p,e(p,u))=u,$

u

$u$

u (x)

$u(x)$

$v(p,m)$ $m$

v (p, m) = m v (p, 1) = m \tilde{v} (p) .

$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$

v (p, e (p, u)) = u

$v(p,e(p,u))=u$

e (p, u) = \frac{u}{\tilde{v} (p)},

$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$

e (p, u)

$e(p,u)$

u

$u$

\begin{aligned} e (p, λ u) & = min p \cdot x s.t. u (x) \geq λ u \\ = λ min p \cdot \frac{1}{λ} x s.t. \frac{1}{λ} u (x) \geq u \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$

— Ziwei Wang
source

x (p, m) = m x (p, 1) = m \tilde{x} (p)

$x(p,m)=mx(p,1)=m\tilde {x}(p)$

x (p, e (p, u)) = h (p, u)

$x(p,e(p,u))=h(p,u)$

\frac{h (p, u)}{m \tilde{x} (p)} = e (p, u)

$\frac{h(p,u)}{m\tilde {x}(p)}=e(p,u)$

m = e (p, u)

$m=e(p,u)$

h (p, u) = \tilde{x} (p) e (p, u)

$h(p,u)=\tilde{x}(p)e(p,u)$

m

$m$

h (p, u)

$h(p,u)$