Pourquoi la fonction de production Cobb-Douglas est-elle si populaire?

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En tant qu'analyste quantitatif / analyste des coûts relativement novice, on m'a demandé d'estimer le niveau de productivité d'une organisation donnée plus d'une fois, puis de faire des prévisions pour les deux prochaines périodes. L'endroit où je travaille est un organisme à but non lucratif relativement petit (environ 30 personnes) dédié à la distribution de dons de banques alimentaires et à la sollicitation de bénévoles, donc je ne sais pas si la taille de l'entreprise y est pour quelque chose.

La plupart du temps, on m'a demandé des unités spécifiques et non des changements de pourcentage ou des élasticités, donc je suis obligé de présenter l'une des deux fonctions de production.

$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = Σ_{i = 1}^{n} β_{i} x_{i}$ $f(x_1,...,x_n)=\Sigma_{i=1}^n\beta_i x_i$
$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = γ min (x_{1}, . . ., x_{n})$ $f(x_1,...,x_n)=\gamma \min(x_1,...,x_n)$

Pourtant, quand je lis la littérature économique, je vois le cobb douglas (ou une variante de celui-ci comme le stone-gerry) utilisé tout le temps.

Je sais qu'il a la propriété de montrer mathématiquement des rendements d'échelle décroissants pour un seul facteur de production, mais j'ai du mal à le voir dans ma ligne de travail. S'agit-il d'une fonction de production exclusive à la fabrication de biens immobiliers?

mathematical-economics production-function

— EconJohn
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Je pense qu'une belle propriété de la fonction de production de CD est que ses paramètres (les exposants sur les entrées) capturent la part des entrées de la sortie, et peuvent donc être calibrés facilement.

— Herr K.

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La raison pour laquelle les fonctions de production de Cobb Douglas sont si populaires vient du fait que les hypothèses suivantes sont satisfaites tout en restant statistiquement rigoureuses ¹ :

Rappelez le formulaire de fonction de production Cobb-Douglas:

F (K, A L) = K^{α} (A L)^{1 - α}

$F(K,AL)=K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}$

où (c'est-à-dire la part de la production qui va au capital) $0<\alpha <1$

$1)$ Produits marginaux positifs:

\frac{\partial F (K, A L)}{\partial K} > 0, \frac{\partial F (K, A L)}{\partial (A L)} > 0

${\partial{F(K,AL)}\over{\partial K}}>0 \space , \space\space{\partial{F(K,AL)}\over{\partial (AL)}}>0$

$2)$ Produits marginaux décroissants (comme vous l'avez déjà mentionné)

\frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial K^{2}} < 0, \frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial (A L)^{2}} < 0

${\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial K^2}}<0 \space , \space\space{\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial (AL)^2}}<0$

$3)$ Des rendements d'échelle constants (c'est ainsi que fonctionnent la plupart des processus de production)

F (λ K, λ A L) = λ F (K, A L)

$F(\lambda K, \lambda AL)= \lambda F(K, AL)$

pour tout (par exemple "Double entrée Double sortie ") $\lambda \ge 0$ $\Rightarrow$

J'espère que cela t'aides!!

_{¹ Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function}

— FreakconFrank
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Comme vous l'indiquez dans votre question, la véritable raison sous-jacente (à mon avis) derrière la popularité de la fonction de production de CD est la commodité mathématique. Le fait que la somme soit une belle représentation intuitive des "retours à l'échelle" est très pratique. $\alpha + \beta$

Je pense que son utilisation est similaire à l'utilisation d'utilitaires exponentiels ou électriques dans la finance mathématique. Irréaliste? Peut-être, mais oh tellement plus sympa de travailler avec.

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D'accord, je pense que j'ai fait beaucoup d'hypothèses implicites parce que j'étais confus par vos fonctions dans la dernière réponse, ce qui a rendu ma réponse très confuse. J'essaie donc d'être un peu plus explicite cette fois. Je ne considérerai que votre première fonction.

Maintenant, s'il s'agit d'une fonction de production, les sont des entrées et vous n'avez qu'une seule sortie. Votre fonction de production a maintenant les propriétés suivantes: et . Cela implique que vos entrées sont complètement indépendantes les unes des autres. Vous pouvez atteindre la même sortie avec seulement ou avec seulement . Cela n'a aucun sens si vos intrants sont le capital et le travail (du moins pas jusqu'à ce que nous ayons entièrement automatisé la production où vous n'avez besoin d'un humain nulle part dans le processus de production). Parce que si l'un d'eux est égal à 0 dans le monde réel, vous n'obtiendrez aucune sortie. $x_i$ $\frac{df}{dx_i}=\beta_i$ $\frac{df}{dx_jdx_i}=0$ $x_1$ $x_2$

Cette considération m'amène à croire que vos méthodes de production du modèle , ce qui implique qu'elles contiennent déjà des mélanges de capital et de travail. Dans ce cas, vous devez simplement optimiser ces différentes méthodes de production et choisir la meilleure. Celui avec le rapport / coût le plus élevé. Parce qu'au niveau de l'entreprise, les coûts marginaux seraient très probablement constants. $x_1$ $\beta_i$

Il s'agit d'un modèle raisonnable, du point de vue des entreprises. Vous ne pouvez choisir qu'entre ces méthodes de production, donc le fait que vous ayez mélangé le Capital et le Travail ne vous concerne pas. Vous optimisez la fonction et choisissez la meilleure méthode de production compte tenu des coûts fixes. La simplification (présumée) est que vous ne considérez pas comment l'expansion ou la production modifie le coût marginal dans une méthode de production.

(Si l'expansion était à une échelle économique, alors vous augmenteriez le salaire des travailleurs en employant plus d'entre eux, ce qui vous amènerait à un moment donné à choisir une méthode de production plus lourde en capital)

Un économiste aborde la question sous un angle différent: ils s'intéressent au rapport Capital / Travail et non au mode de production spécifique. Ils veulent une fonction qui prend le capital et le travail en entrée, sélectionne la meilleure méthode de production en fonction de cette entrée et renvoie une sortie. Leur hypothèse est que, à cette échelle, il existe tellement de méthodes de production différentes que vous pouvez les parcourir et obtenir essentiellement une fonction continue dans le capital et le travail.

Ils veulent un modèle qui a la propriété que la fonction Cobb-Douglas fournit. $\frac{df}{dx_jdx_i}>0$

Vous comparez essentiellement la simulation de particules avec la simulation de fluides. Les équations pour modéliser une seule molécule d'eau seront différentes de la modélisation d'un jet d'eau. Et il pourrait sembler que l'un n'a rien à voir avec l'autre.

L'autre possibilité à laquelle j'ai pensé était que cette fonction est en fait une fonction de coût de production des sorties mais alors vous avez un coût marginal fixe de par définition. Ce qui est encore une fois une hypothèse qu'il est raisonnable de faire au niveau micro mais pas au niveau macro. $(x_1, ...,x_n)$ $x_i$

— Felix B.
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Il est quelque peu étrange que "Cobb-Douglas" n'apparaisse nulle part dans votre réponse.

— Giskard

Cobb-Douglas est une fonction permettant de modéliser la production agrégée ayant du travail et du capital comme intrants et de modéliser l'effet de la modification de la part du capital / travail sur la production. (changement de la productivité marginale du travail en raison d'un changement de capital) Je parle de la façon dont ces considérations de partage peuvent être écartées après l'optimisation de la production d'une unité, car les coûts marginaux peuvent être estimés comme constants pour les petites entreprises.

— Felix B.19

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La fonction de production Cobb-Douglas est si populaire, uniquement parce que c'est l'une des très rares fonctions pour lesquelles vous pouvez calculer explicitement les fonctions de demande d'entrée (et d'approvisionnement de sortie). La fonction de production Cobb-Douglas est généralement utilisée au niveau du baccalauréat (cours, examens et exercices) car nous pouvons résoudre le système des conditions de premier ordre. Cependant, cette forme fonctionnelle est très restrictive et sa validité est empiriquement rejetée. Afin qu'au niveau du master, nous reformulions la théorie microéconomique en utilisant des formes non restreintes pour la fonction de production (voir par exemple le manuel de Mas Colell et al.), Et utilisons soit le théorème de la fonction implicite soit la théorie de la dualité pour dériver des résultats statiques comparatifs.

— Bertrand
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