Connaissance commune en formulation et solution de modèle

Les modèles économiques supposent généralement que la structure de l'économie est une connaissance commune parmi les agents.

Mathématiquement, un événement est de notoriété publique s'il réside dans la réunion des ensembles d'informations de tous les agents. (La rencontre d'une famille de algèbres est la plus fine coarsification commune de tous les algèbres de la famille. Voir Aumann, 1976.) $\sigma$ $\sigma$

Cependant, dans la littérature, lorsqu'un article part de l'hypothèse de base, on ne voit presque jamais la réunion d'aucun ensemble d'informations. Laissez-moi vous donner un exemple (Grossman et Stiglitz 1980).

Modèle Grossman-Stiglitz

Il s’agit d’un modèle dans lequel deux traders ayant une utilité (essentiellement) moyenne-variance sont informés de manière asymétrique sur la moyenne. Par hypothèse, la structure de l'économie est un savoir commun et les commerçants sont rationnels. Le prix d'équilibre doit donc, d'une part, clarifier le marché et, d'autre part, être compatible avec les attentes du négociant non informé. Détails donnés comme suit.

Laissez et dénoter les commerçants informés et non informés, respectivement. Les traders ont le même utilitaire CARA, . Le taux sans risque est . Le prix de l'actif risqué demain est . Le commerçant informé que connais ; le commerçant non informé ne connaît que la distribution antérieure . $I$ $U$ $u_I(W) = u_U(W) = - e^{-\gamma W}$ $r$ $P_2 \sim \mathcal{N}(\bar{P}, \sigma^2) | \bar{P}$ $I$ $\bar{P}$ $U$ $\bar{P} \sim \mathcal{N}(P_0, \sigma_0^2)$

Laissez - les trader ont des dotations de la richesse . (L’utilité de CARA n’ayant aucun effet sur la richesse, ne joue donc aucun rôle dans le choix du portefeuille ci-dessous.) $E$ $E$

Étant donné le prix actuel pour l'actif risqué, la richesse du commerçant demain est s'il choisit de détenir des unités d'un actif risqué. $P_1$ $W(\phi) = rW + \phi (P_2 - rP_1)$ $\phi$

Maximiser l'utilité attendue, la demande des commerçants est

\frac{E [P_{2} | F] - r P_{1}}{γ V a r (P_{2} | F)}

$\frac{E[P_2|\mathcal{F}] - rP_1}{\gamma Var(P_2|\mathcal{F})}$

conditionnel à son ensemble d'informations . Pour , . Pour , . $\mathcal{F}$ $I$ $\mathcal{F}_I = \{ \bar{P}, P_1\}$ $U$ $\mathcal{F}_U = \{ P_1 \}$

L'offre de l'actif risqué est distribuée . $x$ $\mathcal{N}(\bar{x}, \sigma_x^2)$

L’équilibre est une fonction de prix telle que $P_1(\bar{P}, x)$

\frac{\bar{P} - r P_{1} (\bar{P}, x)}{γ σ^{2}} + \frac{E [P_{2} | P_{1} (\bar{P}, x)] - r P_{1} (\bar{P}, x)}{γ V a r (P_{2} | P_{1} (\bar{P}, x))} = x .

$\frac{\bar{P} - r P_1(\bar{P}, x)}{\gamma \sigma^2}+ \frac{E[P_2|P_1(\bar{P}, x)] - r P_1(\bar{P}, x)}{\gamma Var(P_2|P_1(\bar{P}, x))} = x.$

En d'autres termes, le marché efface et le commerçant non informé calcule sa demande en utilisant la fonction de tarification correcte en équilibre.

Maintenant, dans ce contexte CARA-normal, les choses sont linéaires et on peut résoudre cet équilibre en devinant une fonction de tarification

P_{1} (\bar{P}, x) = A \bar{P} + B x + C

$P_1(\bar{P}, x) = A\bar{P} + Bx + C$

et trouvez , et en faisant correspondre les coefficients. Par exemple, calculer $A$ $B$ $C$

E [P_{2} | P_{1}] = P_{0} + \frac{A σ_{0}^{2}}{A^{2} σ_{0}^{2} + B^{2} σ_{x}^{2}} [A (\bar{P} - P_{0}) + B x]

$E[P_2|P_1] = P_0 + \frac{A \sigma_0^2}{A^2 \sigma_0^2 + B^2 \sigma_x^2} [A(\bar{P} - P_0) + Bx]$

V a r (P_{2} | P_{1}) = \frac{B^{2} σ_{x}^{2}}{A^{2} σ_{0}^{2} + B^{2} σ_{x}^{2}} σ_{0}^{2} + σ^{2}

$Var(P_2|P_1) = \frac{B^2 \sigma_x^2}{A^2 \sigma_0^2 + B^2 \sigma_x^2}\sigma_0^2 + \sigma^2$

Dans l'équation la substitution de compensation du marché et une algèbre fastidieuse donne des constantes endogènes , et . $A$ $B$ $C$

À la place, Grossman et Stiglitz font quelque chose de plus élégant. Ils soulignent que le commerçant non informé peut conditionner la demande résiduelle pour toute réalisation de $U$ $(\bar{P},x)$

D_{r e s i d} = x - \frac{\bar{P} - r P_{1}}{γ σ^{2}} .

$D_{resid} = x - \frac{\bar{P} - r P_1 }{\gamma \sigma^2}.$

Ce qui est encore plus intelligent, ils notent que, puisque est observé en équilibre, ils abord que et $P_1$ $P_1$

{\tilde{D}}_{r e s i d} = x - \frac{\bar{P}}{γ σ^{2}} .

$\tilde{D}_{resid} = x - \frac{\bar{P} }{\gamma \sigma^2}.$

sont informellement équivalentes. Alors la condition d'équilibre devient

\frac{r P_{1} (\bar{P}, x)}{γ σ^{2}} + \frac{E [P_{2} | {\tilde{D}}_{r e s i d}] - r P_{1} (\bar{P}, x)}{γ V a r (P_{2} | {\tilde{D}}_{r e s i d})} = {\tilde{D}}_{r e s i d} .

$\frac{ r P_1(\bar{P}, x)}{\gamma \sigma^2}+ \frac{E[P_2|\tilde{D}_{resid}] - r P_1(\bar{P}, x)}{\gamma Var(P_2|\tilde{D}_{resid})} = \tilde{D}_{resid}.$

Maintenant, les choses sont beaucoup moins fastidieuses et il n’ya pas de constantes endogènes et à résoudre. est une fonction affine de et est une constante exogène. Pour que puisse être annulé immédiatement. Puisque est une fonction affine de , il est vérifié ex post qu’elles sont équivalentes sur le plan informationnel. $A$ $B$ $E[P_2|\tilde{D}_{resid}]$ $\tilde{D}_{resid}$ $Var(P_2|\tilde{D}_{resid})$ $P_1(\bar{P}, x)$ $P_1$ $\tilde{D}_{resid}$

Question

Pour que le négociateur non informé conditionne la demande résiduelle, l'hypothèse de connaissance commune est utilisée. Ou du moins, sait que sais pour que puisse se mettre à la place de et calculer ce que demande. $U$ $U$ $I$ $U$ $I$ $I$

Cependant, la réunion des ensembles d'informations n'apparaît nulle part - comme il se doit. Le résultat des calculs de doit être mesurable par rapport à la rencontre. Si l’on doit formuler cela mathématiquement, où cela apparaît-il? $U$

mathematical-economics asymmetric-information information

— Michael
source

Il ressemble à ce qui est utilisé est de notoriété publique au niveau de la structure de l'économie --- utilité des agents, def de EQUIL, etc. Alors qu'il est l'action « dans le calcul de la demande résiduelle qui est mesurable wrt la rencontre . La demande résiduelle elle-même en tant que va est le mauvais niveau pour poser la question.

U

$U$

— Michael

L’hypothèse de la connaissance commune ne se manifeste-t-elle pas précisément dans le fait que le joueur non informé a la certitude que le joueur informé connaît le prix , de sorte que, pour toute réalisation possible, il puisse calculer la demande résiduelle. En ce qui concerne le joueur informé, ses informations sur le joueur non informé ne sont pas pertinentes. Ses propres informations sont suffisantes pour choisir sa demande optimale. Il est souvent fastidieux d’être formel quant à l’hypothèse de connaissance commune, mais on peut toujours voir en quoi chaque joueur conditionne.

\bar{P}

$\bar P$

— Regio