Des marchés complets en temps continu

Dans les économies à temps discret standard avec un nombre fini d'États, , une économie de marché complète est simplement une économie avec actifs indépendants (Think Ljunqvist et Sargent Chapitre 8). En effet, actifs indépendants sont suffisants pour couvrir l'ensemble des États demain.n $n$$n$$n$

La semaine dernière, j'ai eu une discussion avec un professeur au cours de laquelle il a déclaré que l'une des commodités du temps continu lorsque l'on réfléchit à la tarification des actifs est que dans une économie de temps continu, on peut obtenir des marchés complets simplement avec une obligation sans risque et un actif risqué ( indépendant) pour chaque mouvement brownien dans l'économie.

Il l'a expliqué pendant que nous parlions, donc je pense que je le comprends surtout, mais je me demandais si quelqu'un voudrait bien écrire les détails?

Je vais probablement y passer un jour ou deux cette semaine (cela dépend de certaines des propriétés du calcul différentiel), donc si personne d'autre ne répond à la question, j'espère que je pourrai fournir une réponse satisfaisante.

Je suis la dernière personne qui devrait répondre à des questions de temps continu comme celles-ci, mais s'il n'y a personne d'autre, je suppose que je vais essayer. (Toute correction de mon financement à temps continu dont on se souvient vaguement est la bienvenue.)

Mon impression a toujours été que cela est mieux interprété comme une conséquence du théorème de représentation de la martingale . Tout d'abord, cependant, je vais vaguement établir une notation. Soit l'espace de probabilité généré par les processus de Wiener indépendants . Soit actifs, où la valeur du ème actif à est donnée par . Supposons que l'actif est une obligation sans , tandis que les actifs sont chacun risqués et sont entraînés par le correspondant : ( Z 1 t , … , Z n t ) n + 1 i t S i t i = 0 d S 0 t = r t S 0 t d t i = 1 , … , n Z i t d S i t = μ i t d t + σ i t d $n$$(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$$n+1$$i$$t$$S_t^i$$i=0$$dS_t^0=r_tS_t^0dt$$i=1,\ldots,n$$Z_t^i$ mtm0=1mtS i

$$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$$ Supposons qu'il existe un processus SDF strictement positif normalisé à , tel que est une martingale pour chaque (essentiellement la définition de SDF) et où (j'utilise comme produit scalaire, ce qui sera pratique.)$m_t$$m_0=1$$m_tS_t^i$d m t = ν t d t + ψ t ⋅ d Z t$i$ $$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$$ $\cdot$

Enfin, que le vecteur soit notre portefeuille au temps , de telle sorte que la valeur nette soit donnée par . Supposons que est fixe et que nous avons en Maintenant, je vais énoncer l'objectif, qui capture l'essence des marchés complets. Supposons que les extrémités du monde au moment , et que nous voulons la valeur nette à égale un certain stochastique , qui peut dépendre de toute l'histoire jusqu'à temps . Supposons que , de sorte que dans un monde avec des marchés complets, nous pourrions (àθ t t A t A t = θ t ⋅ S t A 0 d A t = θ t ⋅ d S t T A T Y T A 0 = E $n+1$$\theta_t$$t$$A_t$$A_t=\theta_t\cdot S_t$$A_0$

$$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$$ $T$$A_T$$Y$$T$t = $A_0=E_0[m_TY]$$t=0$ ) utiliser notre richesse initiale pour acheter le temps paiement . En l'absence de ces marchés complets directs, la question est de savoir s'il existe néanmoins une stratégie pour le portefeuille qui nous permettra d'obtenir dans tous les états du monde. Et la réponse, dans ce contexte, est oui. t = T Y θ t A T = $A_0$$t=T$$Y$ $\theta_t$$A_T=Y$

Tout d'abord, on peut calculer . Ainsi étant une martingale implique que est une martingale. Ainsi, nous avons ssi pour tout . Notez que cela est vrai pour par hypothèse; par conséquent, pour obtenir l'égalité, il suffit de prouver que les incréments sont toujours égaux des deux côtés.m t S t m t A t A T = Y ⟺ m T $d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$$m_tS_t$$m_tA_t$m t $A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$t ∈ [ 0 , T ] t =

$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$ $t\in[0,T]$$t=0$

Maintenant, le théorème de représentation de la martingale entre en jeu. Puisque est une martingale, nous pouvons écrire pour un processus prévisible . Nous devons donc pouvoir montrer . En écrivant nous voyons que nous avons besoin de pour chaque actif risqué , que nous pouvons inverser pour donner le choix de portefeuille nécessaire : Le choix de portefeuille d'actifs sans risqueE t [ m T Y ] = E 0 [ m T Y ] + ∫ t 0 ϕ s ⋅ d Z θ i t σ i t + A t ψ i t ) i t σ i t + A t ψ i t i t i = 1 $E_t[m_TY]$ϕ s d ( m t A t ) = ϕ t ⋅ d Z t d ( m t A t ) = ∑ i ( m

$$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$$ $\phi_s$$d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$ mtθ = $$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$$ $m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$$i=1,\ldots,n$$\theta_t^i$ $$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$$ $\theta_t^0$peut ensuite être retiré de .$A_t=\theta_t\cdot S_t$

L'intuition est simple: nous devons avoir toujours adapter à maintenir l'égalité , mais aussi l'attente à droite et le SDF à gauche se déplacent en réponse à la conduite des processus . Par conséquent, nous devons choisir un portefeuille tel que compense précisément ces mouvements et l'équation continue de tenir. Et nous pouvons toujours le faire aussi longtemps que localement, nos actifs couvrent tous les risques - ce qui peut se produire plus généralement, même pour actifs corrélés tant que leurs incréments sont localement linéairement indépendants. (Le cas ici de$A_t$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$m_t$$dZ_t^i$$\theta_t$$dA_t$$dZ_t^i$$n$$n$ les actifs risqués chaque drien par un mouvement brownien indépendant est spécial.)

J'avais l'intention de publier ceci depuis longtemps. Je suis tombé sur cela et j'ai pensé que cela pourrait ajouter un aperçu. Cet exemple est tiré de la «théorie de la tarification des actifs financiers» de Munk.

Considérez la figure suivante. De combien d'actifs avons-nous besoin pour avoir un marché complet?

Vous pourriez penser que, parce qu'il y a 6 états différents ici, nous avons besoin d'au moins 6 actifs différents. Dans un cadre statique, nous savons que lorsque nous avons états différents, nous devons avoir "actifs suffisamment différents" (dans le cadre statique habituel, cela signifie linéairement indépendant). Cependant, dans le cadre dynamique, ce n'est pas le cas. Munk explique cela sur la base de deux observations différentes:$N$$N$

(i) l'incertitude n'est pas révélée complètement d'un coup, mais peu à peu, et (ii) nous pouvons négocier dynamiquement les actifs. Dans l'exemple, il existe trois transitions possibles de l'économie du temps 0 au temps 1. De notre analyse sur une période, nous savons que trois actifs suffisamment différents suffisent pour «couvrir» cette incertitude. Du temps 1 au temps 2, il y a soit deux, trois ou une transition possible de l'économie, selon l'état dans lequel l'économie se trouve au moment 1. Au plus, nous avons besoin de trois actifs suffisamment différents pour couvrir l'incertitude sur cette période. Au total, nous pouvons générer n'importe quel processus de dividende si nous avons juste accès à trois actifs suffisamment différents sur les deux périodes.

Dans le cas d'une version arborescente multinomiale générale d'un marché à temps discret plus général, à états finis, nous pouvons pour chaque nœud de l'arbre définir le nombre couvrant comme le nombre de branches du sous-arbre quittant ce nœud. Le marché est alors complet si, pour n'importe quel nœud de l'arbre, le nombre d'actifs négociés linéairement indépendants au cours de la période suivante est égal au nombre couvrant.

Maintenant, dans le cas d'un modèle à temps continu où l'incertitude est générée par un mouvement brownien standard à dimensions d, l'argument est compliqué, mais Munk donne quelques idées basées sur la discussion précédente.

Le résultat est assez intuitif compte tenu des observations suivantes:

1. Pour les changements continus sur un instant, seuls les moyens et les écarts comptent.
2. Nous pouvons approximer le choc dimensionnel par une variable aléatoire qui prend valeurs possibles et a la même moyenne et variance que . Par exemple, un choc unidimensionnel a un zéro moyen et une variance . Cela est également vrai pour une variable aléatoire qui est égale à avec une probabilité de et égale à avec une probabilité . ...$dz_i$$d+1$$dz_t$$dz_t$$dt$$\epsilon$$\sqrt{dt}$$1/2$$-\sqrt{dt}$$1/2$
3. Avec un trading continu, nous pouvons à tout instant ajuster notre exposition aux chocs exogènes.

À chaque instant, nous pouvons donc penser le modèle avec une incertitude générée par un mouvement brownien standard à d dimensions comme un modèle à temps discret avec états. Il suffit donc de actifs suffisamment différents pour boucler le marché.$d+1$$d+1$