Calcul et courbes d'indifférence dans un exemple d'économie urbaine

Je lis l'article « La structure des équilibres urbains » de Jan Brueckner.

Il utilise un modèle de ville monocentrique, où tous les consommateurs gagnent un revenu au centre de la ville. Ils achètent logements pour un prix à distance du centre, entraînant des frais de transport .q p x t $y$$q$$p$$x$$tx$

Les consommateurs ont une fonction utilitaire:

$v(c,q)=v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))=u$

où$\phi=x,y,t,u$

La contrainte budgétaire est:

$c = y - tx - pq$

La condition de tangence implique:

$\frac{v_1(y - tx - pq, q)}{v_2(y - tx - pq, q)} = p$

où l'indice 1 indique une différenciation partielle par rapport au premier argument, etc.

Le papier discute alors comment et varient avec et .q x , y , t $p$$q$$x, y, t$$u$

Si , nous restons sur la même courbe d'indifférence. Je trouve relativement simple de trouver ∂ p$\phi=x,y,t$ et∂$\frac{\partial{p}}{\partial{x}},\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$ .$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}$

Si est la pente de la courbe de demande compensée par le revenu, alors .∂ $\eta$$\frac{\partial{q}}{\partial{\phi}} = \eta\frac{\partial{p}}{\partial{\phi}}$

Maintenant , pour permettre varier. La contrainte budgétaire oscille pour répondre à une nouvelle courbe d'indifférence, déterminant les nouveaux et .p $u$$p$$q$

Je peux trouver . Différenciez totalement la fonction d'utilité par rapport à u:$\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$

$\frac{d}{du}[v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))= u] = v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})+v_2(\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=1$

Puisque, par la condition de tangence :$v_2=pv_1$

$v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}}+p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q)=1$

Donc .$\frac{\partial{p}}{\partial{u}} = \frac{-1}{qv_1}$

L'article cite ensuite:

$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$

Je ne sais pas comment dériver cela. Je suppose que le premier terme entre crochets est un effet de substitution et le second terme est un effet de revenu.

Aidez-moi à comprendre cette dernière expression et comment le dériver.$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$