Limites uniformes sur le taux de fusion pour les apprenants bayésiens

Mise à jour. Cross publié sur Cross Validated .

Dans un article bien connu, Blackwell et Dubins (1962) montrent que les probabilités postérieures de deux agents bayésiens, dont les prieurs s'accordent sur les événements de mesure $0$ , deviendront arbitrairement proches les uns des autres sous un flux croissant d'informations.

Mathématiquement, le résultat est le suivant. Laisser $(\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal{F}_n\}, Q)$ être un espace de probabilité filtré avec $\mathcal{F}_n \uparrow \mathcal{F}$ . Laisser $P$ être une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{F})$ avec $Q \ll P$ . Alors,

ré (P^{n}, Q^{n}) : = \underset{UNE \in F}{souper} | P (UNE ∣ F_{n}) - Q (UNE ∣ F_{n}) | \to 0 comme Q comme n \to \infty .

$d(P^n, Q^n): = \sup_{A \in \mathcal{F}}|P(A \mid \mathcal{F}_n) - Q(A \mid \mathcal{F}_n)| \to 0 \text{ a.s. $Q$ as } n \to \infty.$ Nous disons que

P

$P$ et

Q

$Q$ fusionnent fortement .

Dans un article plus récent et également très influent, Kalai et Lehrer (1994) introduisent la notion de fusion faible . La définition est comme ci-dessus, sauf $\sup$ est prise sur des événements d'horizon fini; les événements de queue sont ignorés:

w (P^{n}, Q^{n}) : = \underset{UNE \in F_{n + 1}}{souper} | P (UNE ∣ F_{n}) - Q (UNE ∣ F_{n}) | \to 0 comme Q comme n \to \infty .

$w(P^n, Q^n) : = \sup_{A \in \mathcal{F}_{n+1}}|P(A \mid \mathcal{F}_n) - Q(A \mid \mathcal{F}_n)| \to 0 \text{ a.s. $Q$ as } n \to \infty.$

Pour une fusion faible, il est possible de trouver des limites uniformes sur le taux de convergence (Fudenberg et Levine, 1992; Sorin, 1999). Je me demande s'il y a des résultats dans cette direction pour une fusion forte.

— Communauté
source

Cela devrait être déplacé vers Cross Validated ou Mathematics. Il est plus probable que les membres de ces conseils connaissent des articles spécifiques sur des séquences de fonctions convergeant vers une fonction limitante. Je suis très intéressé par la réponse, car elle est liée à une question sur laquelle je travaille. Je n'en connais aucun.

— Dave Harris

@DaveHarris Malheureusement, les gens de MSE ne semblent pas être trop familiers avec cette littérature. J'ai déjà posé des questions sur Blackwell & Dubins. Êtes-vous sûr que la question ne devrait pas être laissée ici? La faible fusion est largement discutée dans les revues économiques par les économistes. Bien que, je convienne bien sûr que le sujet pourrait être un peu plus technique que la question moyenne affichée ici.

Je ne sais pas. C'est une question valable ici, si un peu ésotérique pour ce groupe. Il y a un public restreint pour cela. En partie, c'est parce qu'il existe des hypothèses implicites fortes concernant les informations, les préférences et les incitations, ainsi que la durée de vie d'un jeu. Nous avons un échantillon arbitrairement grand à la fois sur l'évolution et la rondeur de la terre, mais Ken Ham et le Cavalier en terre plate ont fait la une cette semaine. L'infini est long.

— Dave Harris

En effet, c'est long. Et c'est précisément pourquoi je veux mieux comprendre le taux de fusion. Quoi qu'il en soit, je pense que votre suggestion de publier sur Cross Validated est bonne, et je l'ai fait. Je soupçonne que c'est un problème ouvert, mais j'espère que certaines pistes émergeront.

Cet article d' Acemoglu, Chernozhukov et Yildiz (2016) et les références qu'il contient peuvent être intéressants.

Les résultats qu'ils obtiennent sont dans un environnement beaucoup plus limité, mais je pense qu'ils indiquent toujours la direction dans laquelle vous regardez. Sinon, leur revue de littérature devrait également s'avérer utile.

— Économiste théorique
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Toutes mes excuses pour la brève réponse - ce sujet est un peu loin pour moi. Cependant, je pense que cela devrait encore être quelque peu utile.

— Theoretical Economist

Merci pour cela. Je vais essayer de le lire dans les prochains jours et de faire rapport sur les résultats pertinents.

Génial; faites le moi savoir. Je suis aussi curieux. Et j'ai peut-être parlé trop tôt de la façon dont leurs résultats sont limités - un peu plus d'écrémage suggère que c'est plus proche de la formulation de Blackwell et Dubins que je ne le pensais initialement.

— Theoretical Economist

Après avoir examiné le modèle, mais pas tous les résultats, il semble qu'ils soient intéressés par un phénomène quelque peu différent, qu'ils expliquent de manière informelle à la p.193. Pourtant, le papier semble intéressant et je vais probablement continuer à lire.