Condition de transversalité dans le modèle de croissance néoclassique

Dans le modèle de croissance néoclassique, il existe la condition de transversalité suivante:

lim_{t \to \infty} β^{t} u^{'} (c_{t}) k_{t + 1} = 0,

$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$ où

k_{t + 1}

$k_{t+1}$ est le capital à la période

t

$t$ .

Mes questions sont:

Comment dérivons-nous cette condition?
Pourquoi avons-nous besoin de cela, si nous voulons exclure les voies sans accumulation de dette?
Pourquoi les multiplicateurs de Lagrange $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$ la valeur actualisée actuelle du capital?

economic-growth dynamic-optimization

— Neta_1990
source

Consultez ces réponses pour la distinction entre la condition d'optimalité de transversalité et la contrainte exogène de solvabilité , economics.stackexchange.com/a/13681/61 et economics.stackexchange.com/a/11866/61

— Alecos Papadopoulos

J'ai essayé de donner une description non mathématique et en langage clair de l'intuition derrière la condition de transversalité dans ce post: medium.com/@alexanderdouglas/… Je ne suis pas macroéconomiste, cependant, donc j'aurais bien pu me tromper. Si c'est le cas, j'espère que certaines réponses apparaîtront bientôt.

— Alexander Douglas

Cela devrait être un commentaire, car vous ne fournissez qu'un lien vers du contenu externe. De plus, la condition de transversalité ne dépend d'aucune hypothèse sur la formation des attentes, car c'est une condition imposée même dans les modèles déterministes où l'incertitude est absente. Et il n'est pas spécifiquement lié à la dette publique, mais à tous les actifs en général. Le point fondamental est le suivant: en supposant qu'aucun motif de legs (nous ne nous soucions pas de notre progéniture ou de la société), il est sous-optimal de «laisser derrière» la richesse non consommée. C'est tout ce qu'on peut en dire.

— Alecos Papadopoulos

SUITE C'est assez simple avec un horizon fini, et, comme c'est habituellement le cas, quand l'horizon devient "inifinite" il devient un peu moins simple et évident.

— Alecos Papadopoulos

Réponses:

La condition de transversalité peut être plus facilement comprise si nous partons d'un problème à horizon fini.

Dans la version standard, notre objectif est de

max_{{c_{t}, k_{t + 1}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t})

$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$ sujet à

\begin{aligned} F (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (contrainte de ressources / budget) \\ c_{t}, k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (contrainte de non-négativité) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$ avec

k_{0}

$k_0$ donné. Le lagrangien associé (avec multiplicateurs

λ_{t}

$\lambda_t$ ,

μ_{t}

$\mu_t$ , et

ω_{t}

$\omega_t$ ) est

max_{{c_{t}, k_{t + 1}, λ_{t}, μ_{t}, ω_{t}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t}) + λ_{t} (F (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1}) + μ_{t} c_{t} + ω_{t} k_{t + 1}

$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$ Les FOC sont

\begin{aligned} c_{t} : & β^{t} u^{'} (c_{t}) - λ_{t} + μ_{t} & = 0, t = 0, \dots, T \\ k_{t + 1} : & - λ_{t} + λ_{t + 1} F^{'} (k_{t + 1}) + ω_{t} & = 0, t = 0, \dots, T - 1 \\ (1) & k_{T + 1} : & - λ_{T} + ω_{T} & = 0, T + 1 \end{aligned}

$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$ avec les conditions de mou complémentaires de Kuhn-Tucker: pour

t = 0, \dots, T

$t=0,\dots,T$ ,

\begin{aligned} λ_{t} (F (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1}) & = 0 & λ_{t} & \geq 0 \\ μ_{t} c_{t} & = 0 & μ_{t} & \geq 0 \\ (2) & ω_{t} k_{t + 1} & = 0 & ω_{t} & \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$ Étant donné que la contrainte de ressource doit être contraignante à toutes les périodes, c'est-à-dire

λ_{t} > 0

$\lambda_t>0$ pour tous

t

$t$ , il s'ensuit qu'à la dernière période

T

$T$ ,

ω_{T} = λ_{T} > 0

$\omega_T=\lambda_T>0$ , ce qui implique à son tour

k_{T + 1} = 0

$k_{T+1}=0$ .

Habituellement, nous supposons $c_t>0$ pour tous $t$ (la condition Inada), ce qui implique $\mu_t=0$ pour tous $t$ . Ainsi, la consommation FOC devient

\begin{matrix} (3) & β^{t} u^{'} (c_{t}) = λ_{t} \end{matrix}

$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$

Regarder les conditions $(1)$ $(2)$ et $(3)$ dans la dernière période $T$ , on a

β^{T} u^{'} (c_{T}) k_{T + 1} = 0

$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$ En étendant cela à l'horizon infini, nous obtenons la condition de transversalité

lim_{T \to \infty} β^{T} u^{'} (c_{T}) k_{T + 1} = 0

$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

L'intuition de la condition de transversalité est en partie «qu'il n'y a pas d'économies au cours de la dernière période». Mais comme il n'y a pas de «dernière période» dans un environnement d'horizon infini, nous prenons la limite à mesure que le temps passe à l'infini.

— Herr K.
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À mon avis, la meilleure dérivation est la logique. Pensez-y de cette façon: si la seule chose que nous disons au ménage est de maximiser son utilité, un comportement optimal serait alors de s'endetter et de consommer infiniment. Ce n'est pas une solution sensée. Nous avons donc besoin d'une autre condition d'optimalité. Cela devrait répondre à la question 2.

Dans un cadre d'horizon fini, la faisabilité serait réalisée si la dette devait être remboursée au cours de la dernière période. Ce n'est pas possible dans un cadre d'horizon infini. Cependant, "exclure l'accumulation de dettes", comme vous le suggérez, est une condition trop stricte (la condition de transversalité permet l'endettement!).

Pour répondre à la question 3, regardons le terme $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$ . Il représente le gain d'utilité (marginal) (dans les utils de valeur actuelle) du déplacement $k_{t+1}$ unités de capital à la période t et les consommer. Si ce gain d'utilité était positif à l'infini, nous pourrions augmenter l'utilité globale en consommant plus à «l'infini de la période», donc notre trajectoire de capital ne serait pas optimale.

À la question 1: pour dériver cette condition, vous pouvez soit faire l'argument logique que je viens de faire, montrant que sans la condition de transversalité, le chemin du capital n'est pas optimal, ou, pour une preuve mathématique, vous pouvez vérifier, par exemple, Per Krusell's Notes (bien qu'il soit assez difficile à saisir)

— Cravate Chris
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