Limite de cette séquence // largeur des entrées

Soit une mesure unitaire des entrées. Définissez par un indice de coût d'utilisation de au maximum en tant qu'entrée.$C_i = \left[\int_0^i c(i)^{1-\alpha}\right]^\frac{1}{1-\alpha}$$i$

Je discrétise par . Soit par exemple et . Soit . Pour rapprocher l'intégrale, je résume tout simplement les termes et diviser par .$c(i)$$c_0, \dots c_i, \dots c_I$$c_i = 1 \,\forall i$$\alpha = 0.5$$I = 5$$I$

Ensuite nous avons , etc. Il s’agit donc d’une séquence croissante, et .$C_1 = (\frac{2}{5}\sqrt 1)^2$$C_2 = (\frac{3}{5}\sqrt 1)^2$$C_1 = 4/25=0.16$

Maintenant, j'ai besoin du coin, . utilise seulement comme entrée, donc je penserais que$C_0$$C_0$$c(0)$

$$C_0 = (c(0)^{1-\alpha})^\frac{1}{1-\alpha} = 1$$

Mais cela ne peut évidemment pas être la limite de la séquence discrétisée, puisque .$\lim\limits_{i\to 0} C_i \to 0$

Donc, à mesure que la variété d’intrants diminue, l’indice de coût diminue, jusqu’à ce que vous n’ayez plus qu’une variété, puis elle explose? Quelqu'un pourrait-il s'il vous plaît faire la lumière sur cela?

Je pense que la discrétisation appropriée devrait être quelque chose comme

$$C_i=\left[\int_0^i\!c(i)^{1-\alpha}\,di\right]^{\frac{1}{1-\alpha}}=\lim_{I\rightarrow\infty}\left[\sum_{j=0}^{(I-1)i}\frac{1}{I}c\left(\frac{j}{I}\right)^{1-\alpha}\right]^{\frac{1}{1-\alpha}}$$

La figure ci-dessous illustre l'origine de chaque terme de la somme (dans le cas de )$I=5$

(La raison pour laquelle la somme monte à c’est que nous commençons à compter à partir de et voulons avoir bacs au total.)$(I-1)i$$j=0$$I$

Dans votre exemple avec et , cela donnerait Nous pouvons comparer cela à la vraie valeur de : . Ainsi, cet exemple particulier est spécial car l'approximation discrète donne une expression exacte pour l'intégrale même sans prendre la limite. La raison en est que est une fonction constante, aussi une approximation rectangulaire des zones situées en dessous convient-elle parfaitement pour tout nombre / taille de rectangles de Rieman.$c(i)=1$$\alpha=1/2$

$$\left[\sum_{j=0}^{(I-1) i}\frac{1}{I}\sqrt{1}\right]^2=\left[I i\frac{1}{I}\sqrt{1}\right]^2=i^2.$$ $C$$(\int_0^i\!\sqrt{1}di)^2=i^2$$c(i)=1$

Mais supposons que nous prenions . Nous avons alors et A la limite, cette approximation converge vers la valeur vraie: mais pour le fini l'approximation est imparfaite.$c(i)=i^2$$(\int_0^i\!\sqrt{i^2}di)^2=i^4/4$

$$\left[\sum_{j=0}^{(I-1) i}\frac{1}{I}\sqrt{\frac{j^2}{I^2}}\right]^2=\frac{(I-1)^2 i^2 (1-i+I i)^2}{4 I^4}.$$ $$\lim_{I\rightarrow\infty}\frac{(I-1)^2 i^2 (1-i+I i)^2}{4 I^4}=\frac{i^4}{4},$$ $I$