Équivalence du modèle LEN

La position de départ est un modèle principal-agent avec des informations incomplètes (aléa moral) et les propriétés suivantes:

Utilitaire d'agent: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
Utilitaire principal: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
Niveaux d'effort $e\in \Bbb R$
Résultats $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
Contrat: $w(x)=a+bx$ ,

où $r_A$ et $r_P$ est la mesure Flèche – Pratt de l'aversion au risque absolue pour l'agent et le principal respectivement.

Je recherche le contrat optimal que le mandant offrira à l'agent lorsque l'effort de l'agent n'est pas visible. L'utilité du principal peut être écrite comme suit:

U^{P} (e, a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

Je veux montrer que l'équivalence suivante est vraie, ce qui signifie que la maximisation de l'utilité du principal peut être écrite comme l'ERS de l'équivalence suivante:

max_{e, a, b} \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x \Leftrightarrow max_{e, a, b} (1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{P}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

où est la fonction de densité d'une variable aléatoire normale , avec la valeur attendue et la variance . $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ $\mu(e)$ $\sigma>0$

J'ai essayé d'utiliser la forme explicite de dans le LHS, de la manipuler un peu, puis d'itegrate mais je n'ai pas pu obtenir l'équivalence. $f(x|e)$

expected-utility asymmetric-information principal-agent

— Fusscreme
source

L'essentiel est que l'utilité attendue du mandant à partir d'un gain conditionnel à un certain niveau d'effort puisse s'écrire: $z$ $e$

E [z | e] - \frac{r_{p}}{2} Var (z | e) .

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

En d'autres termes, comme la richesse est normalement distribuée, l'utilité exponentielle a une simple représentation de la «moyenne-variance». Pour une dérivation, voir ici .

Je suppose que le gain du principal est égal à . Il est alors simple de calculer la moyenne (conditionnelle) et la variance de : $z$ $x - w(x) = (1 - b)x - a$ $z$

E [z | e] = (1 - b) E [x | e] - E [a] = (1 - b) μ (e) - a,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

Var [z | e] = (1 - b)^{2} Var (x | e) - Var (a) = (1 - b)^{2} σ^{2} .

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

Il s'ensuit que l'utilité attendue du mandant peut s'écrire

(1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{p}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2} .

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$