Risque moral avec un agent neutre au risque

Nous avons un modèle principal-agent avec des actions cachées dans lequel le principal est opposé au risque et l'agent est neutre au risque; Supposons également qu'il existe deux niveaux de sortie, $x$ et $x'$ (avec $x'>x$ ) et deux actions $a,a'$ . Définir $p(a),p(a')$ les probabilités de $x'$ sous actions $a,a'$ respectivement. En outre, la désutilité de l'agent de l'action $a'$ est $-1$ . Les salaires associés à $x,x'$ sont $w,w'$ respectivement.

Mon problème est que je ne sais pas comment montrer que le contrat optimal nécessite $x'-w' =x-w$ , c'est-à-dire que l'agent, neutre au risque, assume toute la variabilité associée au projet.

Je formalise le problème (supposons que le principal veut induire $a'$ sinon ma question est banale)

$\max\limits_{\{w,w'\}} u(x'-w')p(a') + u(x-w)(1-p(a'))$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq 0$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

En particulier, lorsque j'essaie de résoudre le problème en maximisant le gain attendu principal soumis aux contraintes de rationalité individuelle "standard" (avec multiplicateur ) et de compatibilité incitative (avec multiplicateur ) (je suppose que le principal est intéressé par plus action coûteuse ) Je me retrouve avec deux équations qui ne sont pas cohérentes avec le résultat précité. En particulier: $\lambda$ $\mu$ $a'$

$u'(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a'))}]$

$u'(x'-w') = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a')}]$

Il est évident que détient ssi ce qui n'est pas le cas dans ce problème (nous avons ici que ). Une autre possibilité serait de supposer que la contrainte de compatibilité Incentive est lâche (donc ); cependant je ne peux pas comprendre pourquoi cela devrait tenir, quand le principal veut induire l'action la plus coûteuse (aide ici) $x-w = x'-w'$ $p(a) =p(a')$ $p(a') >p(a)$ $\mu = 0$ $a'$

J'ai lu en ligne qu'une autre approche serait de supposer que le mandant "vend" le projet à l'agent et l'agent, après avoir choisi le niveau d'effort maximisant son utilité attendue, rembourse un montant fixe au mandant (appelez-le ) $\beta_{a}, \beta_{a'}$

Nous aurions donc quelque chose comme:

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 -\beta_{a'} \geq 0$ si l'agent choisit d'entreprendre un effort élevé et sinon. $w'p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0$

Mais alors comment y aller? Comment s'assurer que l'agent va choisir l'action ? Comment les montants fixes sont-ils déterminés? Pourquoi sont-ils optimaux? $a'$

decision-theory principal-agent

— night_owl89
source

Un conseil: Compte tenu de votre configuration, n'est pas nécessairement l'action efficace, et donc le principal ne veut pas nécessairement l'induire. Voulez-vous que les gens supposent que c'est le cas?

a^{'}

$a^\prime$

— Shane

@Shane Ceci est indiqué dans la question: "supposons que le principal veut induire "

a^{'}

$a'$

— Giskard

@denesp C'est vrai, mais il est toujours important de savoir si oui ou non est réellement efficace, car, étant donné l'agent neutre au risque, la vente du projet à l'agent sera optimale quoi qu'il arrive, mais n'induira s'il est efficace. Si n'est pas efficace mais que le principal veut l'induire malgré tout, alors la notion entière de contrats optimaux est floue - nous trouverions le contrat optimal à partir d'un ensemble de contrats qui induit un choix sous-optimal.

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

— Shane

Le mandant peut simplement effectuer un paiement pour induire un montant d'un montant basé sur l'utilité qu'il reçoit de cette action.

— DJ Sims du

Le «salaire» peut-il être négatif ou nul?

— Alecos Papadopoulos du

Réponses:

Cette réponse montre trois choses:

Nous n'avons pas besoin de l'approche lagrangienne pour résoudre votre problème de maximisation.
Nous n'avons pas non plus besoin de l'hypothèse que . $x'-x=\frac{1}{p(a')-p(a)}$
La condition n'est pas nécessairement satisfaite pour le contrat optimal. $x'-w'=x-w$

Réparez en effet le paiement . Le problème peut être écrit étant donné les contraintes Il est clair que le principal a intérêt à fixer la valeur la plus basse possible pour étant donné cet ensemble de contraintes, puisque la fonction objectif diminue en . Par conséquent, il définira $w$

max_{w^{'}} u (x^{'} - w^{'}) p (a^{'})

$\begin{equation*} \max_{w'}{u(x'-w')p(a')} \end{equation*}$

\begin{aligned} w^{'} p (a^{'}) \geq 1 - w [1 - p (a^{'})] \\ w^{'} [p (a^{'}) - p (a)] \geq 1 + w [p (a^{'}) - p (a)] \end{aligned}

$\begin{align*} & w'p(a') \geq 1 - w[1-p(a')] \\ & w'[p(a')-p(a)] \geq 1+w[p(a')-p(a)] \end{align*}$

w^{'}

$w'$

w^{'}

$w'$

w^{'} = max {\frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}, \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}}

$\begin{equation} w' = \max\{\frac{1-w[1-p(a')]}{p(a')},\frac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)}\} \end{equation}$

Comme l'a fait @Alecos_Papadopoulos, il est logique de supposer que l'agent est protégé par une responsabilité limitée, c'est-à-dire que ses paiements sont non négatifs. Sinon, le problème n'a pas nécessairement de solution: le principal pourrait toujours bénéficier d'une diminution de et d'une augmentation de afin de maintenir la contrainte de rationalité individuelle satisfaite. Mais le contrat n'est évidemment pas une solution satisfaisante. Je limite donc mon attention au cas où et . $w$ $w'$ $(w=-\infty,w'=+\infty)$ $w \geq 0$ $w' \geq 0$

La condition implique et donc $w \geq 0$

\frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)} \geq \frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}

$\begin{equation*} \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \geq \dfrac{1-w[1-p(a')]}{p(a')} \end{equation*}$

w^{'} = \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}

$\begin{equation*} w' = \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \end{equation*}$

En connectant cette équation à la fonction objectif, le problème du principal devient

max_{w \geq 0} u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} - w) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} \max_{w \geq 0}{u(x'-\frac{1}{p(a')-p(a)}-w)p(a')+u(x-w)(1-p(a'))} \end{equation*}$ Cette fonction objectif décroît en . Il place donc simplement et . En conclusion, l'égalité n'a de raison d'être satisfaite que si l'on suppose que , c'est-à-dire que Cette dernière équation signifie que le surplus social résultant d' est égal au surplus résultant d'

w

$w$

w = 0

$w=0$

w^{'} = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$w'=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

x^{'} - w^{'} = x - w

$x'-w'=x-w$

x^{'} - x = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$x'-x=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

p (a^{'}) x^{'} + (1 - p (a^{'})) x - 1 = p (a) x^{'} + (1 - p (a)) x

$\begin{equation*} p(a') x' + (1-p(a'))x -1= p(a)x' + (1-p(a))x \end{equation*}$

a^{'}

$a'$

a

$a$ : c'est un cas très particulier où le coût de l'effort pour l'agent est exactement compensé par l'augmentation de la production attendue pour le mandant. Dans tous les autres cas, nous avons .

x^{'} - w^{'} \neq x - w

$x'-w' \ne x-w$

Je pense que la raison pour laquelle l'agent ne prend pas tous les risques est que ses actions ne sont pas observables, et donc non contractuelles. Cette propriété serait vraie dans une économie à partage des risques avec des allocations sans contraintes. Mais l'allocation est ici faussée par la nécessité d'inciter l'agent à déployer des efforts importants.

— Oliv
source

(+1) C'est une bonne approche, j'aime juste être formel avec des problèmes simples. Un dernier problème avec la configuration de l'OP: puisque est arbitraire, rien ne garantit que .

x^{'}

$x'$

x^{'} \geq 1 / (p^{'} - p)

$x' \geq 1/(p'-p)$

— Alecos Papadopoulos

Je ne pense pas que "le principal pourrait toujours bénéficier d'une diminution de et d'une augmentation de afin de maintenir la contrainte de rationalité individuelle satisfaite." est vrai. Je veux dire qu'il y a des cas où vous ne pouvez pas à la fois en bénéficier et maintenir la contrainte de participation satisfaite.

w

$w$

w^{'}

$w'$

— Giskard

@denesp Je pense que c'est vrai. Prenez négatif et assez petit, et afin de satisfaire les deux contraintes. La fonction objective du principal est et cette fonction diminue strictement en , lorsque est suffisamment petit. Par conséquent, le principal peut toujours faire mieux en abaissant et en définissant : aucune soution finie n'est optimale.

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w' = \frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'})} + w \frac{1 - p (a^{'})}{p (a^{'})}) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} u(x'-\frac{1}{p(a')}+w \frac{1-p(a')}{p(a')})p(a') + u(x-w)(1-p(a')) \end{equation*}$

w

$w$

w

$w$

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w'=\frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

— Oliv

@Alecos Papadopoulos merci. Pourquoi voudriez-vous garantir que ?

x^{'} \geq \frac{1}{p^{'} - p}

$x' \geq \frac{1}{p'-p}$

— Oliv

@Oliv Si , alors le revenu net du principal est négatif si se produit, tandis qu'il est positif si se produit (avec ). En fait, même si , nous sommes dans une situation où le principal veut induire l'action , même si l'utilité conditionnelle est plus faible si se produit. Cela nécessiterait un traitement plus complet, afin de déterminer ce qui est vraiment optimal ici. Certes, nous pouvons accepter le problème tel quel, avec toutes ses hypothèses considérées comme des données ad hoc, mais je préfère les problèmes qui ne contrecarrent l'intuition que si, à la fin, ils peuvent expliquer de manière éclairante pourquoi.

x^{'} < 1 / (p^{'} - p)

$x' < 1/(p'-p)$

x^{'}

$x'$

x

$x$

w = 0

$w=0$

0 < x^{'} - 1 / (p^{'} - p) < x

$0< x' - 1/(p'-p) < x$

a^{'}

$a'$

x^{'}

$x'$

— Alecos Papadopoulos

Une chose qui me dérange ici est la suivante: la contrainte de compatibilité incitative est

I C : w^{'} p (a^{'}) + w (1 - p (a^{'})) - 1 \geq w^{'} p (a) + w (1 - p (a))

$IC: w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

\begin{matrix} (1) & ⟹ w^{'} - w \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$\implies w'-w \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{1}$

... puisque par hypothèse . On nous dit que nous devrions trouver qu'à l'optimum, $p(a')-p(a) >0$

\begin{matrix} (2) & x^{'} - w^{'} = x - w ⟹ x^{'} - x = w^{'} - w \end{matrix}

$x'-w' = x-w \implies x'-x = w'-w \tag{2}$

En combinant et , si c'est effectivement l'optimum sous les contraintes données, il faut aussi avoir $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & x^{'} - x \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$x'-x \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{3}$

Mais il s'agit là d'une contrainte supplémentaire et nécessaire sur les grandeurs a priori, qui doit tenir pour que la solution optimale postulée soit admissible. Même si en effet une telle contrainte est supposée, en tout cas, elle réduit visiblement la généralité du problème (qui prétend montrer quelque chose de général, c'est-à-dire comment la neutralité au risque de l'agent affecte la solution).

Néanmoins, travaillons cela un peu plus formellement. Je suppose que peut être nul, mais pas négatif. Il s'agit d'un problème de maximisation sous forme normale avec des contraintes d'inégalité, des variables de décision non négatives et des multiplicateurs non négatifs. Le lagrangien complet du problème est donc (je vais compacter la notation de manière évidente), $w, w'$

Λ = u (x^{'} - w^{'}) p^{'} + u (x - w) (1 - p^{'}) + λ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1] + μ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1 - w^{'} p - w (1 - p)] + ξ w + ξ^{'} w^{'}

$\Lambda = u(x'-w')p' + u(x-w)(1-p') + \lambda\cdot [w'p' + w(1-p') - 1 ]\\ + \mu \cdot [ w'p' + w(1-p') - 1 - w'p - w(1-p)] + \xi w + \xi' w'$

Les conditions essentielles du premier ordre sont

\frac{\partial Λ}{\partial w} \leq 0, \frac{\partial Λ}{\partial w} \cdot w = 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \leq 0, \;\;\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \cdot w = 0$

et de façon analogue pour . Ces résultats $w'$

\frac{\partial Λ}{\partial w} = - u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) + λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} = -u'(x-w)(1-p') +\lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi \leq 0$

⟹ u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) \geq λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ

$\implies u'(x-w)(1-p') \geq \lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi$

\begin{matrix} (4) & ⟹ u^{'} (x - w) \geq λ - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x-w) \geq \lambda - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag{4}$

\frac{\partial Λ}{\partial w^{'}} = - u^{'} (x^{'} - w^{'}) p^{'} + λ p^{'} + μ (p^{'} - p) + ξ^{'} \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w'} = -u'(x'-w')p' +\lambda p' + \mu (p'-p) + \xi' \leq 0$

\begin{matrix} (5) & ⟹ u^{'} (X^{'} - w^{'}) \geq λ + μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x'-w') \geq \lambda + \mu\frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5}$

Notons tout d'abord que les deux salaires ne peuvent pas être nuls, car les contraintes seraient violées. Compte tenu de cela, considérez la possibilité que l' se lie (donc ). S'il est contraignant, alors que les deux salaires ne sont pas nuls, la contrainte sera nécessairement violée. Nous concluons donc que $IR$ $\lambda >0$ $IC$

λ_{*} = 0

$\lambda_* = 0$

et les conditions de premier ordre deviennent maintenant

\begin{matrix} (4a) & u^{'} (X - w) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x-w) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag {4a}$

\begin{matrix} (5a) & u^{'} (X^{'} - w^{'}) \geq μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') \geq \mu \frac{p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5a}$

Notez maintenant que si (c'est-à-dire ) alors devrait être considéré comme une égalité et avec le dernier terme à droite égal à zéro. Mais cela exigerait une utilité marginale négative qui est inadmissible. Nous savons également que les deux salaires ne peuvent pas être nuls. Nous concluons donc que nous devons avoir $\xi =0$ $w >0$ $(4a)$

ξ_{*} > 0, w_{*} = 0, ξ_{*}^{'} = 0, w_{*}^{'} > 0

$\xi_* > 0 , w_*=0,\;\;\; \xi'_* = 0,\; w'_* >0$

et les conditions deviennent maintenant

\begin{matrix} (4b) & u^{'} (X) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4b}$

\begin{matrix} (5b) & u^{'} (X^{'} - w^{'}) = μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') = \mu \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5b}$

Eq. implique que , sous une spécification de fonction d'utilité habituelle, qui ne donne l'utilité marginale nulle qu'à l'infini. Cela signifie à son tour que la contrainte doit être considérée comme une égalité. Étant donné que cela donne $(5b)$ $\mu_*>0$ $IC$ $w_*=0$

\begin{matrix} (6) & je C : w^{'} p^{'} - 1 - w^{'} p = 0 ⟹ = w_{*}^{'} = \frac{1}{p^{'} - p} \end{matrix}

$IC: w'p' - 1 - w'p =0 \implies = w'_* = \frac 1{p'-p} \tag{6}$

Cela devrait sonner, car le côté droit de est le même que le côté droit de et . $(6)$ $(1)$ $(3)$

A savoir, si nous supposons a priori que , alors la solution à laquelle nous sommes parvenus valide la revendication $x'-x = \frac 1{p'-p}$ $x'-w'_* = x-w_*$

Dans cette hypothèse supplémentaire, nous obtenons également

\begin{matrix} (4c) & u^{'} (X) \geq - μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu_* \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4c}$

\begin{matrix} (5c) & u^{'} (X) = μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) = \mu_* \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5c}$

En combinant, nous obtenons

μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}}

$\mu \frac{p'-p}{1-p'} \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'}$

\begin{matrix} (7) & ⟹ μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)} \end{matrix}

$\implies \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)} \tag{7}$

C'est admissible . Donc sous , on obtient la solution $x'-x = \frac 1{p'-p}$

{w_{*}^{'} = X^{'} - X = 1 / (p^{'} - p), w_{*} = 0, λ_{*} = 0, μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)}, ξ_{*} > 0, ξ_{*}^{'} = 0}

$\left \{w'_* = x'-x = 1/(p'-p), w_* =0, \lambda_*=0, \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)}, \xi_* >0, \xi'_* =0\right\}$

— Alecos Papadopoulos
source