Comment Knuth a-t-il dérivé A?

Lorsque nous interprétons les clés comme des nombres naturels, nous pouvons utiliser la formule suivante.

h (k) = ⌊ m (k A mod 1) ⌋

$\begin{equation} h(k) = \lfloor m (kA\bmod{1}) \rfloor \end{equation}$

Ce que j'ai du mal à comprendre, c'est comment nous choisissons la valeur de A où:

0 < A < 1

$\begin{equation} 0 < A < 1 \end{equation}$

Selon Knuth, une valeur optimale est:

A \approx (\sqrt{5} - 1) / 2 = 0.6180339887...

$\begin{equation} A \thickapprox (\sqrt{5} - 1) / 2 = 0.6180339887... \end{equation}$

Donc, ma question est de savoir comment Knuth est arrivé à cela et comment pourrais-je calculer une valeur optimale pour mes données spécifiques?

hash-function

— ChaosPandion
source

Je trouve juste intéressant que

A = 1 + ϕ

$A = 1+\phi$ ... et googler qui a en fait fait référence à "Knuth fait valoir que la multiplication répétée par le nombre d'or minimisera les écarts dans l'espace de hachage, et c'est donc un bon choix pour combiner ensemble plusieurs clés pour en former un. "

— Ahmed Masud

Si je me souviens bien, cela est expliqué dans l'un des exercices dans quel sens est bien réparti dans l'intervalle unitaire. Je n'ai pas le livre à vérifier maintenant.

k A \mod 1

$kA \mod 1$

— Radu GRIGore

@RaduGRIGore c'est un théorème bien connu que est un modulo uniformément distribué pour tout irrationnel (théorème 6.3 des "Nombres irrationnels" de Niven). Peut-être que est le meilleur choix dans un certain sens.

A, 2 A, \dots

$A, 2A, \ldots$

1

$1$

A

$A$

A = 1 + ϕ

$A=1+\phi$

— didest

Il n'y a pas de "plus optimal"; c'est comme dire "plus mieux". Soit c'est la valeur optimale, soit ce n'est pas le cas.

— Jeffε

Il convient de souligner que cette valeur est également utilisée par les processus naturels. Plus précisément, l' angle doré régit le placement des pétales, des fleurons, etc. dans de nombreuses plantes. Une rotation de cet angle peut être appliquée à plusieurs reprises lorsque vous placez des points autour d'un cercle et les points seront régulièrement espacés (dans un facteur constant).

— James King

Voir l'exercice 9 de la section 6.4 de L'art de la programmation informatique .

Tout irrationnel fonctionnerait, car brise un plus grand espace de (j'utilise la notation pour ). $A$ $\{kA\}$ $\{A\}, \{2A\}, \ldots, \{(k-1)A\}$ $\{x\}$ $x\mod 1$

Mais si ou , il a une propriété spéciale: ce sont les seules valeurs pour lesquelles aucun des deux espaces nouvellement créés n'est plus de deux fois plus long que le autre. $A = \phi^{-1}$ $A = \phi^{-2}$

— didest
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En outre, la taille du plus petit espace est aussi grande que possible.

— Jeffε