À quel point est-il difficile d'utiliser l'approche Mulmuley-Sohoni GCT pour montrer les séparations de complexité * connues *?

Dans ce billet d'invité de Josh Grochow sur le blog de complexité, il rend compte d'un récent atelier consacré au GCT qui s'est tenu à Princeton en juillet. Plusieurs des participants ont fait valoir que nous devrions utiliser GCT pour attaquer des problèmes plus faciles que vs N P afin de construire une intuition et de voir si la méthode a du potentiel.$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

La question qui me dérange:

Est-il possible d'utiliser GCT pour montrer des séparations connues comme ou L ≠ P S P A C E ?$\mathsf{P} \neq \mathsf{EXP}$$\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

Fait quelque chose comme $\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

1. Même pas de sens dans le contexte du GCT, ou
2. Est tout à fait trivial et sans intérêt dans le cadre GCT, ou
3. Mener à des conjectures aussi dures que vs N P ?$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Réponse courte: probablement pas (1), certainement pas (2) et peut-être (3).

$L$$P$$PSPACE$$EXP$

$FP \neq FEXP$

$FP \neq FEXP$

Pour en venir à votre question: je crois que ces questions peuvent être formulées dans un contexte GCT, mais il n'est pas immédiatement évident de savoir comment. Plus ou moins, vous avez besoin d'une fonction complète pour la classe et caractérisée par ses symétries; bonus supplémentaire si la théorie de la représentation associée à la fonction est facile à comprendre, mais cette dernière est généralement assez difficile.

$FP \neq FEXP$$P$$NP$$FEXP$$FEXP$

$2 \times 2$$\frac{3}{2}n^2 - 2$

$2 \times 2$$3 \times 3$$3 \times 3$$FP \neq FEXP$$P \neq NP$

Il y a un nouveau document sur l'arXiv par Joshua Grochow , qui montre comment mettre plusieurs techniques connues de limite inférieure dans le cadre GCT et semble répondre quelque peu à votre question.

(Il s'agit principalement d'un commentaire, mais personne ne remarquerait un commentaire, je le poste donc comme réponse.)

Unification et généralisation des bornes inférieures connues via la théorie de la complexité géométrique

Joshua A. Grochow

$AC^0[p]$il s'agit d'une unification naturelle et d'une large généralisation des résultats connus. Il montre également que le cadre de GCT est au moins aussi puissant que les méthodes connues, et donne de nombreuses nouvelles preuves de concept que GCT peut en effet fournir des limites inférieures asymptotiques significatives. Ce nouveau point de vue ouvre également la possibilité d'interactions fructueuses dans les deux sens entre les résultats précédents et les nouvelles méthodes de GCT; nous proposons plusieurs suggestions concrètes de telles interactions. Par exemple, le point de vue théorique de la représentation de GCT fournit naturellement de nouvelles propriétés à considérer dans la recherche de nouvelles limites inférieures. Ce nouveau point de vue ouvre également la possibilité d'interactions fructueuses dans les deux sens entre les résultats précédents et les nouvelles méthodes de GCT; nous proposons plusieurs suggestions concrètes de telles interactions. Par exemple, le point de vue théorique de la représentation de GCT fournit naturellement de nouvelles propriétés à considérer dans la recherche de nouvelles limites inférieures. Ce nouveau point de vue ouvre également la possibilité d'interactions fructueuses dans les deux sens entre les résultats précédents et les nouvelles méthodes de GCT; nous proposons plusieurs suggestions concrètes de telles interactions. Par exemple, le point de vue théorique de la représentation de GCT fournit naturellement de nouvelles propriétés à considérer dans la recherche de nouvelles limites inférieures.