Y a-t-il une telle chose comme un homomorphisme faible de la houille?

Étant donné un endofoncteur , nous pouvons définir les fonctions d'observation comme des fonctions polymorphes pour tout F -coalgebra, c'est-à-dire que obs est défini pour tout F -coalgebra \ langle A, c: A \ rightarrow FA \ rangle . obs: \ forall \ langle A, c \ rangle. A \ à B Une autre façon de voir les fonctions d'observation est en tant que fonctions de la F- coalgèbre finale si elle existe . Nous obtenons le polymorphisme automatiquement en composant la fonction d'observation avec l'homomorphisme unique au final F- charbon. Mais cela ne fonctionne que si la finale F existe -coalgebra.$F : Set \rightarrow Set$o b de F ⟨ A , C : A → F A ⟩ o b s : ∀ ⟨ A , c ⟩ . A → B $F$$obs$$F$$\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$

$$obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B$$ $F$$F$$F$

L'une des caractéristiques déterminantes d'une fonction d'observation est qu'elle annule tout homomorphisme de houillère composé vers la droite, en raison de son polymorphisme. Si $hom$ est un homomorphisme de $F$ charbon, alors:

$$obs = obs \circ hom$$ Au cours de mes recherches, pour tenter de définir une notion de cohérence observationnelle entre une houille et une autre, j'ai eu l'idée d'un faible homomorphisme de houille. L'idée est que nous pouvons «simuler» un homomorphisme de houillère si nous connaissons la fonction d'observation à l'avance. Ainsi, nous pourrions satisfaire, $$obs = obs \circ hom$$ mais seulement pour un obs particulier $obs$.

Par exemple, laissez $FX = \{0,1\} \times X$ , et laissez $obs$ être défini comme o b s = ⟨ ( π 1 ∘ c ) , ( π 1 ∘ c ∘ π 2 ∘ c )

$$obs : \forall \langle A, c\rangle. A \to \{0,1\}^2$$ $$obs = \langle (\pi_1 \circ c), (\pi_1 \circ c \circ \pi_2 \circ c) \rangle$$ Autrement dit, $obs$ prend les deux premiers éléments de un courant.

Ensuite, un homomorphisme F-coalgebra devrait garantir qu'il préserve tous les éléments du flux, tandis qu'un homomorphisme faible pour $obs$ n'a besoin que de préserver les deux premiers éléments du flux.

Dans ma recherche, cette notion serait utile afin de montrer qu'un coalgebra est observationnellement cohérent avec un autre en montrant que chaque fonction d'observation linéaire finie a un faible homomorphisme du premier coalgebra au deuxième coalgebra. En d'autres termes, chaque observation linéaire finie sur la première houillère peut être reproduite sur la seconde houillère.

(Ce que je veux dire par fonction d'observation linéaire semble pour la plupart hors de propos, mais dans un souci de partage ... Une fonction d'observation linéaire est plus ou moins celle qui n'utilise chaque état de l'ensemble de porteurs qu'une seule fois. J'essaie de modéliser un oracle, et l'utilisateur n'est pas autorisé à revenir en arrière et à prétendre qu'il n'a jamais posé de question.)

Mes questions sont donc:

1. Cela a-t-il été recherché? Existe-t-il déjà des "homomorphismes de houillères faibles", sous un autre nom peut-être?

2. Y a-t-il une manière plus «théorique de catégorie» de présenter ceci?

Edit : Suppression de deux questions qui ne sont pas si importantes.

Les «morphismes faibles» que vous décrivez ont un nom dans un cadre légèrement restreint. Ils peuvent également être définis de manière assez générale, comme je l'expliquerai.

Dans le cas où conserve de faibles retraits (de nombreux foncteurs naturels sur font), il est connu que l'équivalence comportementale coïncide avec la bisimilarité houillère. Ensuite , vos morphismes sont connus comme fonctionnels -Step bisimulations où est un ordinal. Certes, je ne les ai jamais vus définis pour ordinals . Avant la houillère, les logiciens modaux avaient étudié les bisimulations en n étapes pour les cadres Kripke, ce qui équivaut à des bisimulations en n étapes pour les houillères pour le foncteur du jeu de puissance. Votre exigence qu'elles soient des fonctions par opposition aux relations en fait des bisimulations fonctionnelles en n étapes.S e t α α α ≤ $T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$$\mathsf{Set}$$\alpha$$\alpha$$\alpha \leq \omega$

D'autre part, vous pouvez définir le concept dont vous parlez dans un cadre beaucoup plus général sans faire référence aux bisimulations houillères. Pour toute catégorie qui a des limites de cochaînes ordinaux indexée et tout foncteur on peut définir de séquence terminale . La condition concernant les limites est en fait plutôt faible, par exemple de nombreuses catégories (y compris ) sont en fait complètes, c'est-à-dire qu'elles ont toutes de petites limites. La séquence terminale est un diagramme dans et ressemble à: T : C → C T S e t $\mathbb{C}$$T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$T$$\mathsf{Set}$$\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

Ici est l'objet terminal dans (limite de cochain vide). Par exemple, dans cela peut être considéré comme le seul élément défini . La carte est le morphisme unique dans l'objet terminal, par exemple dans est simplement mappe chaque élément de à . Chaque est calculé en itérant et est la limite de la cochaine qui le précède. On peut alors continuer au-delà de , si nécessaire. Intuitivement est la collection de $1$$\mathbb{C}$$\mathsf{Set}$$1 = \{*\}$$!_{T1} : T1 \to 1$$\mathsf{Set}$$T1$$*$$T^n 1$$T$$T^\omega 1$$\omega$$T^\alpha 1$$\alpha$-comportements d'étape.

Maintenant, tout charbon induit un cône sur cette séquence, c'est-à-dire une collection de -morphismes pour chacun ordinal . Je vais juste les définir pour :$T$$(Z,\gamma)$$\mathbb{C}$$\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$$\alpha$$\alpha < \omega$

$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$ est la carte unique dans l'objet terminal.

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

Intuitivement, ces cartes envoient un état en à son comportement étape. Nous pouvons maintenant décrire ce dont vous parlez. Supposons que nous ayons deux coalgebras et . Alors un -morphisme préserve le comportement étape si:$Z$$\alpha$$T$$(A,\gamma)$$(B,\delta)$$\mathbb{C}$$f : A \to B$$\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

C'est-à-dire que le comportement étape de dans est précisément le comportement étape de dans .$\alpha$$f(z)$$\delta$$\alpha$$z$$\gamma$

Quoi qu'il en soit, j'espère que cela vous sera utile. Vous pouvez trouver diverses références en recherchant sur Google «Coalgebra séquence terminale» ou «Coalgebra séquence finale».

En règle générale, il faut éviter une terminologie fortement surchargée comme faible, régulière, normale, etc., sauf si la notion a une certaine universalité. En particulier, il semble que votre notion ne corresponde pas à la notion habituelle d' homomorphisme faible après retournement de flèche.

Il y a toujours des termes plus descriptifs chaque fois que vous faites quelque chose de moins universel, comme "homomorphisme affaibli par l'observation" raccourci en "homomorphisme immédiat" peut-être.

Votre notion de fonction d'observation fournit déjà une présentation théorique de catégorie. Je m'inquiéterais davantage de clarifier ce que cela signifie exactement et pourquoi il est intéressant, plutôt que de rechercher la plus grande généralité possible. En particulier, vous devriez généralement donner un exemple informatif et un non-exemple lors de l'introduction de notions inhabituelles dans la presse écrite.