Problèmes de calcul infiniment grands mais localement finis

Cette question est inspirée d'un commentaire de Jukka Suomela sur une autre question .

Quels sont les exemples de problèmes de calcul infiniment grands mais localement finis (et algorithmes)?

En d'autres termes, quels sont les exemples de calculs qui s'arrêtent dans un temps fini, dans lesquels chaque machine Turing lit et traite uniquement des données finies, mais dans l'ensemble le calcul résout un problème de taille infinie s'il existe une infinité de machines Turing en réseau?

Juste pour donner quelques idées de ce qui est possible (mais quelque peu non trivial), voici un exemple: un algorithme distribué qui trouve un bourrage maximal sur un graphe à degrés bornés.

Définition du problème

Étant donné un graphe simple non orienté , une garniture d'arête (ou correspondance fractionnaire) associe un poids w ( e ) à chaque arête e ∈ E de telle sorte que pour chaque nœud v ∈ V , le poids total des arêtes incidentes à v est au plus 1 . Un nœud est saturé si le poids total des bords incidents est égal à 1 . Un compactage de bord est maximal si tous les bords ont au moins un point de terminaison saturé (c'est-à-dire qu'aucun des poids ne peut être étendu goulûment).$G = (V,E)$$w(e)$$e \in E$$v \in V$$v$$1$$1$

Observez qu'une correspondance maximale définit une garniture de bord maximale (ensemble w ( e ) = 1 si e ∈ M ); il est donc facile à résoudre dans un cadre centralisé classique (en supposant que G est fini).$M \subseteq E$$w(e) = 1$$e \in M$$G$

Les emballages de bord ont en fait certaines applications, du moins si l'on définit une application dans le sens TCS habituel: l'ensemble des nœuds saturés forme une approximation d'une couverture de sommet minimale (bien sûr, cela n'a de sens que dans le cas d'un G fini ) .$2$$G$

Modèle de calcul

Nous supposerons qu'il existe une constante globale telle que le degré de tout v ∈ V soit au plus Δ .$\Delta$$v \in V$$\Delta$

Pour garder cela aussi proche de l'esprit de la question d'origine, définissons le modèle de calcul comme suit. Nous supposons que chaque nœud est une machine de Turing, et un bord { u , v } ∈ E est un canal de communication entre u et v . La bande d'entrée de v code le degré deg ( v ) de v . Pour chaque v ∈ V , les arêtes incidentes à v sont étiquetées (dans un ordre arbitraire) avec des entiers 1 , 2 , $v \in V$$\{u,v\} \in E$$u$$v$$v$$\deg(v)$$v$$v \in V$$v$ ; elles sont appeléesétiquettes de bord local(l'étiquette de { u , v } ∈ E peut être différente pour u et v ). La machine a des instructions avec lesquelles elle peut envoyer et recevoir des messages à travers chacun de ces bords; une machine peut s'adresser à ses voisins en utilisant les étiquettes de bord local.$1,2,\dotsc,\deg(v)$$\{u,v\} \in E$$u$$v$

Nous exigeons que les machines calculer un bord valide emballage pour G . Plus précisément, chaque v ∈ V doit imprimer sur sa bande de sortie un codage de w ( e ) pour chaque bord e incident à v , ordonné par les étiquettes de bord local, puis s'arrêter.$w$$G$$v \in V$$w(e)$$e$$v$

Nous disons qu'un algorithme distribué trouve un compactage de bord maximal dans le temps T , si ce qui suit vaut pour tout graphique G de degré maximal Δ , et pour tout étiquetage de bord local de G : si nous remplaçons chaque nœud de G par une copie identique de la machine de Turing A et démarrer les machines, puis après les étapes T, toutes les machines ont imprimé une solution valide (globalement cohérente) et se sont arrêtées.$A$$T$$G$$\Delta$$G$$G$$A$$T$

Infinis

Maintenant, tout ce qui précède est parfaitement logique même si l'ensemble des nœuds est infiniment comptable.$V$

La formulation du problème et le modèle de calcul n'ont aucune référence à , directement ou indirectement. La longueur de l'entrée pour chaque machine de Turing est limitée par une constante.$|V|$

Ce qui est connu

Le problème peut être résolu en temps fini même si est infini.$G$

Le problème n'est pas anodin dans le sens où une certaine communication est nécessaire. De plus, le temps de fonctionnement dépend de . Cependant, pour tout Δ fixe , le problème peut être résolu en temps constant quelle que soit la taille de G ; en particulier, le problème peut être résolu sur des graphes infiniment grands.$\Delta$$\Delta$$G$

Je n'ai pas vérifié quel est le temps d'exécution le plus connu dans le modèle défini ci-dessus (qui n'est pas le modèle habituel utilisé sur le terrain). Néanmoins, un temps de fonctionnement polynomial dans devrait être assez facile à réaliser, et je pense qu'un temps de fonctionnement qui est sublinéaire dans Δ est impossible.$\Delta$$\Delta$

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Cela peut être résolu comme vous l'avez décrit en temps constant. $\;$ (c.-à-d. indépendant de l'entrée)

Essentiellement, chaque problème qui est au moins aussi difficile que la coloration nécessite un algorithme avec un temps d'exécution dépendant du nombre de nœuds dans le réseau et ne peut donc pas fonctionner dans un graphe infini mais localement fini. Cela découle de la borne inférieure logiale n * de Linial .

$AC^0$$AC^0$