Réductibilité SERF et algorithmes sous-exponentiels

J'ai une question concernant la réductibilité SERF d'Impagliazzo , Paturi et Zane et les algorithmes sous-exponentiels. La définition de SERF-réductibilité donne ce qui suit:

Si $P_1$ est SERF-réductible à $P_2$ et qu'il existe un algorithme $O(2^{\varepsilon n})$ pour $P_2$ pour chaque $\varepsilon > 0$ , alors il existe un algorithme $O(2^{\varepsilon n})$ pour $P_1$ pour chaque $\varepsilon > 0$ . (Le paramètre de dureté pour les deux problèmes est désigné par $n$ .)

Certaines sources semblent impliquer que ce qui suit vaut également:

Si $P_1$ est SERF-réductible à $P_2$ et qu'il existe un algorithme $O(2^{o(n)})$ pour $A_2$ , alors il existe un algorithme $O(2^{o(n)})$ pour $P_1$ .

Ma question est la suivante: cette dernière affirmation est-elle valable et, dans l'affirmative, y a-t-il une rédaction de la preuve quelque part?

En arrière-plan, j'ai essayé de comprendre la zone autour de l'hypothèse de temps exponentielle. IPZ définit les problèmes sous-exponentiels comme ceux qui ont un algorithme pour chaque ε > 0 , mais cela n'est apparemment pas suffisant à la lumière des connaissances actuelles pour impliquer l'existence d'un algorithme sous-exponentiel pour le problème. La même lacune semble être présente dans la réductibilité SERF, mais je m'attends en partie à ce que je manque quelque chose ici ...$O(2^{\varepsilon n})$$\varepsilon > 0$

EDIT: Comme l' a souligné Ryan dans les commentaires, un problème peut avoir un algorithme non uniforme avec le temps en cours d' exécution pour toute constante ε > 0 (l'algorithme a accès à ε ) mais pas uniforme 2 o ( n ) temps algorithme.$O(2^{\epsilon n})$$\epsilon > 0$$\epsilon$$2^{o(n)}$

En tant que réduction de SERF est une famille de réductions de Turing, un pour chaque , je conclus qu'ils ne peuvent être utilisés pour obtenir O ( 2 ε n ) algorithmes de temps de O ( 2 ε n ) ou 2 o ( n ) temps algorithmes.$\epsilon>0$$O(2^{\epsilon n})$$O(2^{\epsilon n})$$2^{o(n)}$

Le théorème suivant est prouvé par Chen et al. [2009] .

Théorème 2.4 . Soit une fonction non décroissante et non bornée, et soit Q un problème paramétré. Les énoncés suivants sont alors équivalents: (1) Q peut être résolu dans le temps O ( 2 δ f ( k ) p ( n ) ) pour toute constante δ > 0 , où p est un polynôme; (2) Q peut être résolu dans le temps 2 o ( f ( k ) )$f(k)$$Q$
$Q$$O(2^{\delta f(k)}p(n))$$\delta > 0$$p$
$Q$ , où q est un polynôme.$2^{o(f(k))} q(n)$$q$

En prenant nous obtenons qu'un problème a un algorithme de temps O ( 2 ϵ n ) pour chaque ϵ > 0 si et seulement s'il a un algorithme de temps 2 o ( n ) .$f(k)=n$$O(2^{\epsilon n})$$\epsilon>0$$2^{o(n)}$

Il est mentionné dans l'article de Chen et al. que cette équivalence avait été utilisée intuitivement auparavant mais qu'elle causait une certaine confusion chez les chercheurs.