Existe-t-il un type de résultat d'amplification de l'écart pour le problème d'isomorphisme de graphe?

Supposons que et soient deux graphes non dirigés sur l'ensemble de sommets . Les graphiques sont isomorphes si et seulement s'il y a une permutation de telle sorte que , ou plus formellement, s'il y a une permutation de telle sorte que est une arête de si et seulement si $G_1$ $G_2$ $\{1, \dotsc, n\}$ $\Pi$ $G_1 = \Pi(G_2)$ $\Pi$ $(i,j)$ $G_1$ est un bord en . Le problème de l'isomorphisme des graphes consiste à décider si deux graphes donnés sont isomorphes. $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G_2$

Existe-t-il une opération sur les graphes qui produit une "amplification de gap" à la manière de la preuve de Dinur du théorème PCP ? En d'autres termes, existe-t-il une transformation calculable en temps polynomial de à telle que $(G_1,G_2)$ $(G'_1,G'_2)$

si et sont isomorphes, alors et sont également isomorphes, et $G_1$ $G_2$ $G'_1$ $G'_2$
si et G 2 ne sont pas isomorphes, puis pour chaque permutation Π , le graphe G ' 1 est « ε -Far » de Π ( G ' 2 ) pour une faible constante ε , où e moyen -Far que si nous choisissons ( i , j ) uniformément au hasard, puis avec probabilité ϵ soit
- est une arête de et ne constitue pas une arête de , ou $(i,j)$ $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$
- n'est pas un bord de et est un bord de . $(i,j)$ $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$

cc.complexity-theory graph-isomorphism pcp

— André Chailloux
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@domotorp: «Transformation polynomiale dans le temps» est une terminologie standard qui fait référence à une machine de Turing déterministe à temps polynomiale dont les entrées et les sorties sont des chaînes. Dans ce cas, cette machine de Turing prend en entrée la paire (G1, G2) et produit en sortie la paire (G′1, G′2). Chaque graphique est codé sous forme de matrice adjacente, par exemple.

— Tsuyoshi Ito

Je pensais que le théorème de PCP était valable pour tout problème de NP, donc en particulier pour l’isomorphisme de graphes?

— Denis

@dkuper L'auteur veut demander s'il existe une réduction d'amplification de l'écart qui réduit les occurrences d'isomorphisme de graphe en occurrences d'isomorphisme de graphe avec un écart plus important; il ne parle pas directement du théorème PCP, mais d'une technique utilisée pour prouver la dureté de l'approximation ...

— argentpepper

Probablement long, mais pourriez-vous montrer que si c'était le cas, vous pourriez alors résoudre l'isomorphisme des graphes en temps polynomial quantique?

— Neal Young

Selon l'état actuel des connaissances, même SAT dispose d'un algorithme de temps linéaire, il est donc peu probable que ce que vous avez écrit soit connu. Si c'est le cas, veuillez ajouter une référence à votre réponse.

— Kaveh

Je ne sais pas si une telle chose pourrait exister ou non. Mais il est intéressant (et peut-être opportun) de noter qu'une telle "amplification de l'écart" impliquerait probablement un algorithme temporel quasi-polynomial pour l'isomorphisme des graphes (différent de celui annoncé récemment).

Dans cet article , un algorithme d'approximation est donné pour le problème "MAX-PGI" consistant à maximiser les paires appariées d'arêtes / non-arêtes; si nous réduisons de IG à "Gap-MAX-PGI", nous pouvons approximer pour distinguer de quel côté de l'écart nous nous trouvons.

Je pense donc que la démonstration du théorème du PCP par Dinur n’est pas susceptible d’être directement généralisable à un tel «amplificateur de gap», étant donné les obstacles qu’il faudrait surmonter.

— Joe Bebel
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