La résolution de systèmes d'équations est-elle modulo

Je suis intéressé par la complexité de la résolution d'équations linéaires modulo k , pour k arbitraire (et avec un intérêt particulier pour les puissances premières), en particulier:

Problème. Pour un système donné de équations linéaires dans n modules inconnus k , existe-t-il des solutions?$m$$n$$k$

Dans l'abrégé de leur article Structure et importance des classes logspace-MOD sur les classes Mod _k L , Buntrock, Damm, Hertrampf et Meinel prétendent qu'elles " démontrent leur importance en prouvant que tous les problèmes standard d'algèbre linéaire sur les anneaux finis sont complets pour ces classes$\mathbb Z/k\mathbb Z$ ". En y regardant de plus près, l'histoire est plus compliquée. Par exemple, Buntrock et al. montrer (par un croquis de preuve dans un projet antérieur et librement accessible trouvé par Kaveh, merci!) que la résolution de systèmes d'équations linéaires est plutôt dans la classe complémentaire coMod _k L , pourk prime. Cette classe n'est pas connue pour être égale à Mod _k L pour k composite, mais peu importe - ce qui m'inquiète est le fait qu'ils ne font aucune remarque sur la question de savoir si la résolution de systèmes d'équations linéaires mod k est même contenue en coMod _k L pour k composite!

Question: La résolution des systèmes d'équations linéaires modulo k est-elle contenue dans coMod _k L pour tout k positif?

Si vous pouvez résoudre des systèmes d'équations modulo une puissance q plus élevée d'un p premier , vous pouvez également les résoudre modulo p ; donc la résolution de systèmes d'équations modulo q est coMod _p L -hard. Si vous pouviez montrer que ce problème est dans Mod _q L , vous finiriez par montrer Mod _k L  =  coMod _k L pour tout k . Cela sera probablement difficile à prouver. Mais est-ce en coMod _k L ?

Je suis heureux de dire que je pense que nous pouvons répondre à cette question par l'affirmative: c'est-à-dire, décider si une congruence linéaire est réalisable modulo k est coMod _k L -complete.

Nous pouvons en fait réduire ce problème au cas particulier des puissances premières. On peut montrer que:

Forme normale. La classe coMod _k L est constituée des langages L de la forme L  =  L _{p 1}  ∩  L _{p 2}  ∩ ... ∩  L _{p r}  , où L _{p j}  ∈  coMod _{p j}  L et où p _j s'étend sur les facteurs premiers de k .

Par le théorème du reste, toute solution à un système d'équations modulo chacune des puissances premières diviserkdonne lieu à une solution du même système, modk. Donc, si l'on résout des systèmes d'équations linéairessurp t j$p_{\!j}^{e_j}$$p_{\!j}^{t_j}$ est contenu dansComod_pj L, ilrésulte que mod résoudresystèmes d'équationskest contenu dansComod_kL.

Il y a un algorithme standard, décrit par McKenzie et Cook pour réduire les congruences linéaires modulo une puissance première pour construire un ensemble couvrant pour son espace nul (à savoir, pour A x  =  y sur un anneau donné, construire une base pour l'espace nul de [  A  |  y  ] et voir s'il existe des solutions avec un coefficient final de -1); et ensuite pour réduire la construction de puissances modulo prime d'espaces nuls à la construction de puissances modulo prime d'espaces nuls, et de puissances modulo prime de multiplication matricielle. Ces deux dernières tâches sont des problèmes réalisables pour coMod _k L , à condition que vous puissiez construire les matrices impliquées.

Il s'avère que les matrices impliquées dans la réduction de McKenzie et Cook peuvent elles-mêmes être calculées par multiplication matricielle et (cruciale) division par un facteur constant. Heureusement, pour les puissances premières, les coefficients des matrices impliquées peuvent être calculés sur la bande de travail à l'aide d'un oracle pour les machines coMod _p L ; et peut être effectuée de la division par une constante de NC ¹ , ce qui est encore possible dans Comod _p L . Donc , il se trouve que le problème est finalement réalisable dans Comod _k L .

Pour plus de détails, voir [ arxiv: 1202.3949 ].