Est-ce que

Existe-t-il une hypothèse plausible de complexité / cryptographie qui exclut la possibilité que les circuits de taille polynomiale aient des circuits de taille sous-exponentielle (c'est-à-dire avec ) à profondeur limitée ( )? $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon<1$ $d = O(1)$

Nous savons que chaque fonction calculable par un circuit peut être calculée par un circuit de profondeur taille (en utilisant des portes AND, OR et NOT, fan-in illimité) (pour chaque il y a a et peuvent être considérés comme ). $\mathsf{NC^1}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $d$ $0 <\epsilon$ $d$ $d$ $O(1/\epsilon)$

La question est:

y a-t-il une raison qui rendrait peu probable l'existence de tels circuits pour des circuits de taille polynomiale générale?

cc.complexity-theory circuit-complexity bounded-depth

— Kaveh
source

Si par taille sous-exponentielle vous voulez dire

(plutôt que

) et par profondeur bornée vous voulez dire profondeur constante, alors la parité n'a pas de circuits de profondeur bornée sous-exponentielle sous aucune hypothèse.

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

— MCH

Vous devez poster votre commentaire comme réponse. Vous obtiendrez un crédit pour cela, et le cas échéant, il peut être marqué comme une réponse acceptée. Cela évitera également que la question ne soit automatiquement republiée périodiquement par le robot communautaire.

— Suresh Venkat

@MCH, j'ai mis à jour la question pour clarifier ce que je veux dire par taille sous-exponentielle.

— Kaveh

Dans le cas uniforme, vous pouvez dire quelque chose (

implique des limites inférieures de temps pour SAT). Mais dans le cas non uniforme, nous ne connaissons aucune limite inférieure forte pour P / poly, et aucune limite inférieure forte pour votre définition de circuits à profondeur constante de taille sous-exponentielle. Par exemple, il est toujours possible

T I M E (t) \subseteq Σ_{O (d)} T I M E [n^{1 / d}]

$TIME(t) \subseteq \Sigma_{O(d)}TIME[n^{1/d}]$

E X P^{N P}

$EXP^{NP}$ pourrait être simulé dans l'une ou l'autre de ces classes. Je ne suis donc pas sûr de ce que vous pourriez conclure. (Pourquoi ai-je fait un commentaire? Parce que ce n'est pas vraiment une réponse ...)

— Ryan Williams

Eh bien,

est considéré comme improbable. Sipser (CCC '86) a montré que

pour certains

T I M E (t) \subseteq A T I M E (t^{1 - ϵ})

$TIME(t) \subseteq ATIME(t^{1-\epsilon})$

P = R P

$P = RP$

T I M E (t) \subseteq S P A C E (t^{1 - ϵ})

$TIME(t) \subseteq SPACE(t^{1-\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$ , sous certaines hypothèses de construction de l'expandeur qui ont ensuite été confirmées par Saks, Srinivasan et Zhou Cela a été pris comme preuve que

. Des travaux ultérieurs sur la dureté vs l'aléatoire ont rendu les connexions plus précises.

P = R P

$P = RP$

— Ryan Williams

Ce que vous demandez devrait avoir de mauvaises conséquences mais je ne peux pas y penser immédiatement. Je n'ai donc que quelques indications sur ce que nous savons.

Découvrez Viola sur la puissance du calcul de faible profondeur Le meilleur que nous connaissons est la construction de Valiant pour les circuits booléens: des circuits de taille linéaire de profondeur logarithmique à des circuits de sous-expérience de profondeur 3. (Nous savons mieux pour les circuits arithmétiques .) Il y a aussi des résultats de Beigel / Tarui sur ACC commencent contenus dans des circuits de profondeur bornés de taille superpoly. Je ne me souviens pas qu'il ait été étendu à tous les . $NC^1$

— V Vinay
source

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$

N C

$\mathsf{NC}$

Malheureusement, rien. Je pensais à certains des vieux papiers de Buhrman / Homer et à d'autres, mais je ne me souviens de rien de ce genre. Reviendra si quelque chose se présente.

— V Vinay