Question technique sur les promenades aléatoires

(Ma question d'origine n'a toujours pas reçu de réponse. J'ai ajouté des clarifications supplémentaires.)

Lors de l'analyse de marches aléatoires (sur des graphes non orientés) en visualisant la marche aléatoire comme une chaîne de Markov, nous exigeons que le graphe soit non bipartite pour que le théorème fondamental des chaînes de Markov s'applique.

Que se passe-t-il si le graphe est plutôt bipartite? Je suis particulièrement intéressé dans le temps de frappe , où il y a une arête entre et dans . Disons que le graphe biparti a arêtes. Nous pouvons ajouter une boucle automatique à un sommet arbitraire dans le graphe pour rendre le graphe résultant non bipartite; appliquer le théorème fondamental des chaînes de Markov à nous obtenons alors que dans , et cela est clairement aussi une limite supérieure pour dans .$G$$h_{i,j}$$i$$j$$G$$G$$m$$G'$$G'$$h_{i,j} < 2m+1$$G'$$h_{i,j}$$G$

Question: Est-il vrai que la revendication la plus forte est valable dans ? (Il a vu cela revendiqué dans les analyses de l'algorithme de marche aléatoire pour 2SAT.) Ou devons-nous vraiment passer par cette étape supplémentaire d'ajout de l'auto-boucle?$h_{i,j} < 2m$$G$

Cette réponse s'est avérée quelque chose de différent de ce qui intéressait réellement le questionneur. Le laisser ici pour que les autres ne répètent pas la même erreur.

Dans la plupart des cas, on peut formellement justifier la notion intuitive que "les boucles de soi ne peuvent que ralentir la marche" par un argument de couplage. Dans ce cas par exemple, on peut coupler la marche avec les boucles auto (appelons-la ) et celle sans les boucles auto (appelons cela ) pour que fasse les mêmes étapes que , mais retardé dans le temps. Cela peut par exemple se faire comme suit: Supposons que commence à et passe par . Maintenant, nous implémentons comme suit: passe également par les mêmes sommets que , sauf que le sommet$A$$B$$A$$B$$B$$u = x_0$$x_i: i =1,2,\ldots,k$$A$$A$$B$$x_i$ , il attend le temps géométrique ( ) où est la probabilité d'auto-boucle à . Notez que c'est une implémentation correcte de (toutes les probabilités de transition sont correctes), et la forme du couplage garantit que n'atteint aucun sommet avant , c'est-à-dire que nous avons couplé et (la frappe aléatoire fois dans les deux marches) de sorte que avec probabilité . Ainsi, l'inégalité pour le temps de frappe attendu suit.$p_i$$p_i$$x_i$$A$$A$$B$$H_t^A$$H_t^B$$H_t^A \geq H_t^B$$1$

J'avais déjà posté cela en tant que commentaire, et je crois qu'il répond à la question modifiée de user686 par l'affirmative (lorsque et sont connectés par une arête dans un graphique (qu'il soit bipartite ou non), , le temps de frappe attendu de à satisfait .)$i$$j$$G$$h(i,j)$$i$$j$$h(i,j) < 2m$

Je dois également noter que dans sa version originale non éditée, la question n'indiquait pas que et sont adjacents, donc si les réponses précédentes sont pertinentes pour la question d'origine, elles ne sont pas pertinentes pour la nouvelle version éditée.$i$$j$

Si$i$$j$$C(i,j)=h(i,j)+h(j,i)=2mR(i,j)$$R(i,j)$$i$$j$$1$$i$$j$$h(i,j)<2m$$i$$j$$G$$h(i,j)$$h(j,i)$

$C(i,j) = 2mR(i,j)$$i$$j$

$2m+1$$2m$$j$$i$$G'$$G$$same$$j$$H(i,j)_G=H(i,j)_{G'}$

$h_{i,j} < 2m+1$$m$$h_{i,j}$$\Theta(m^2)$

PS: J'ai mis à jour ma réponse précédente car il semble qu'elle ne répondait pas à votre principale préoccupation.