Fonctions non constructibles et résultats anormaux

Dans le livre Arora-Barak, dans la définition des fonctions constructibles dans le temps, il est dit que l'utilisation de fonctions qui ne sont pas constructibles dans le temps peut conduire à des "résultats anormaux". Quelqu'un at-il un exemple d'un tel "résultat anormal"? J'ai entendu en particulier qu'il pourrait exister des fonctions telles que le théorème de la hiérarchie temporelle ne tient pas, est-ce que quelqu'un a un exemple de telles fonctions? Y a-t-il quelque chose à ce sujet quelque part dans la littérature?

Borodin's Gap Theorem : Pour chaque fonction calculable totale , il existe une fonction calculable totale telle que .t D T I M E [ g ( t ( n ) ) ] = D T I M E [ t ( n ) $g(n) \geq n$$t$$DTIME[g(t(n))] = DTIME[t(n)]$

En fait, cela vaut pour toute mesure de complexité Blum à la place de .$DTIME$

Voir aussi la page wikipedia et les références qui s'y trouvent.

Étant donné que l'article Wikipedia ne donne pas la preuve et que le document est sur ACM DL, j'ai pensé qu'il pourrait être utile de publier la preuve ici:

THÉORÈME 3.7. (Théorème des lacunes).

Soit une mesure de complexité, une fonction récursive non décroissante telle que . Il existe alors une fonction récursive croissante telle que les fonctions calculables de la mesure de complexité sont les mêmes que les fonctions calculables de la mesure de complexité .g ∀ x , g ( x ) ≥ x t t g ∘ $\Phi$$g$$\forall x, g(x) \geq x$$t$$t$$g\circ t$

PREUVE.

Définissez comme suit:$t$

t ( n ) : = μ k > t ( n - 1 ) : ∀ i ≤ n , ( Φ i ( n ) < k ∨ Φ i ( n ) > g ( k )

$$t(0) := 1$$ $$t(n) := \mu{ k > t(n-1)}: \forall i \leq n, (\Phi_i(n)<k \lor \Phi_i(n)> g(k) )$$

1. pour tout , il y a un , car pour tout :k i ≤ $n$$k$$i \leq n$

   une. si n'est pas défini, alors , et∀ k , Φ i ( n ) > g ( k $\Phi_i(n)$$\forall k, \Phi_i(n)>g(k)$

   b. si défini alors .∃ k , Φ i ( n ) < $\Phi_i(n)$$\exists k, \Phi_i(n) < k$

2. Φ Φ i ( n ) < k Φ i ( n ) > g ( k $k$ peut être trouvé récursivement, car est une mesure de complexité et donc et sont des prédicats récursifs.$\Phi$$\Phi_i(n) <k$$\Phi_i(n) > g(k)$

3. n ≥ i Φ i ( n ) < t ( n ) Φ i ( n ) > g ∘ t ( n $t$ satisfait le théorème, car implique que ou .$n \geq i$$\Phi_i(n) < t(n)$$\Phi_i(n) > g \circ t(n)$

QED.

Nous observons qu'un arbitrairement grand peut être trouvé pour satisfaire le théorème 3.7. Supposons que nous voulons , puis définissonst ( n ) > r ( n $t$$t(n) > r(n)$

t ( n ) : = μ k > m a x { t ( n - 1 ) , r ( n ) } :

$$t(0) := r(0) + 1$$ $$t(n) := \mu{k > max\{t(n-1), r(n)\}}: \ldots$$

(d'après Allan Borodin, " La complexité informatique et l'existence de lacunes de complexité ", JACM 1972, avec de légères modifications.)